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内蒙古自治区乌兰察布市集宁区一中(西校区)2020学年高二数学上学期期中试题 文(含解析)第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1.化简的结果为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用两角差的正弦公式可化为.【详解】原式.选D.【点睛】本题主要考查角的变换及两角差的正弦公式,属基础题2.化简等于 ( )A. B. C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】根据将原式化为,根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】【点睛】本题考查利用两角和差的正切公式化简求值的问题,关键是构造出符合两角和差正切公式的形式.3.已知,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将两边平方运算即可得解【详解】解:由,得,所以,故选C.【点睛】本题考查了三角求值问题,属基础题.4.函数的最小正周期为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角恒等变换得,再求其周期即可.【详解】解:函数,则该函数的最小正周期为,故选C.【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数的周期,属基础题.5.在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】对于A,,三角形只有一解;对于B,三角形只有一解;对于C,又ab,角B为小于的锐角,即三角形只有一解;对于D,又ab,角B为锐角或钝角,即三角形有两解,故选D6.已知,则数列是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】通过数列的关系式,判断数列是等差数列,通过公差的符号判断数列的增减性.【详解】因为,得,所以数列是等差数列,且公差是3.所以数列是递增数列.故选A.【点睛】本题考查数列的函数特征:数列的单调性的判断,属于基础题.7.若数列,则a5a4( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:由可得考点:数列通项公式8.在等差数列中,已知,则数列的前11项和( )A. 58B. 88C. 143D. 176【答案】B【解析】【分析】由等差中项的性质可得,再根据前n项和的公式得,可得解.【详解】由等差中项的性质可得,故,那么.故选B.【点睛】本题主要考查等差数列中的等差中项和前n项公式,属于基础题9.已知等比数列的公比,则的值为 ( )A. 2B. 8C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的公比,可得,可得解.【详解】因为等比数列的公比,所以,故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,属于基础题.10.在等比数列中,已知,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】设等比数列的公比为,则,所以;选A.11.已知锐角三角形的边长分别为2、3、,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由余弦定理可得,应选答案B12.已知数列中,若为递增数列,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知得,根据为递增数列,所以有,建立关于的不等式,解之可得的取值范围.【详解】由已知得,因为为递增数列,所以有,即恒成立,所以,所以只需,即,所以,故选A.【点睛】本题考查数列的函数性质:递增性,根据已知得出是解决此类问题的关键,属于基础题.第卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多7,则队伍里一共有_人.【答案】20【解析】【分析】由已知得每位同学报的数是一个等差数列,并且其首项为17,公差为7,末项为150,根据等差数列的通项公式可得解.【详解】由题意知,每位同学报的数是一个等差数列,其中首项为17,公差为7,末项为150,设末项为第项,则,解得,则队伍里一共有20人.故填:20.【点睛】本题考查等差数列的实际应用,关键在于将实际问题中的信息转化为等差数列中的首项、公差、末项等,属于基础题.14.已知数列是等差数列,若,则数列的公差=_【答案】3【解析】数列是等差数列,若,则,解得,所以数列公差为,故答案为.15.等比数列的前项和为,若,则公比等于_.【答案】【解析】【分析】将题中两等式作差可得出,整理得出,由此可计算出的值.【详解】将等式与作差得,因此,该等比数列的公比,故答案为.【点睛】本题考查等比数列公比的计算,在两个等式都含前项和时,可以利用作差法转化为有关项的等式去计算,考查运算求解能力,属于中等题.16.在等差数列中,前项和为常数),则_.【答案】【解析】分析】令,得,再由得,所以,由此可求得的值,可得解.【详解】由已知等差数列中,令,得,所以,而,所以,所以,所以,故填:.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式之间的关系,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17.在中,内角所对的边分别为,试判断的形状.【答案】为等边三角形【解析】分析】根据正弦定理将化成,再由可以得出的关系得解.【详解】由正弦定理 (其中R为外接圆的半径),得,所以由可得即.又,所以,所以,即,所以,又由,得,所以,所以,故等边三角形.故得解.【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的运用,关键在于利用定理将角的关系转化为边的关系,属于中档题.18.在中,是方程的两个根,且.求的长.【答案】【解析】【分析】利用韦达定理求出,再利用余弦定理,得到关于的方程,解之可得的长.【详解】是方程的两个根, ,又因为,所以由余弦定理得:,解得,所以.【点睛】本题考查韦达定理和余弦定理的运用,属于中档题.19.设等差数列满足,()求的通项公式;()求的前项和及使得最大的序号的值【答案】an=11-2n,n=5时,Sn取得最大值【解析】试题分析:解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,a1+9d=-9,a1+2d=5,解得d=-2,a1=9,,数列an的通项公式为an=11-2n,(2)由(1)知Sn=na1+d=10n-n2因为Sn=-(n-5)2+25所以n=5时,Sn取得最大值考点:等差数列点评:数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性【此处有视频,请去附件查看】20.已知数列满足且.(1)求证:是等比数列;(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由,构造出,再求出,可得结论;(2)由(1)和等比数列的通项公式可得解.【详解】(1)证明:,又,是首项为,公比为的等比数列;(2)由(1)知 .【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式,关键在于构造出所需的表达式,属于中档题.21.已知公差不为零的等差数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知条件利用等差数列的通项公式求出数列的首项和公差,由此可得出其通项公式;(2)由(1)可得出,再利用裂项求和法可求出数列前项的和.【详解】(1)设等差数列的公差为,因为公差不为零的等差数列,满足.所以,解得,所以,故;(2)由(1) 得:,.故得解.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和运用裂项求和法求数列的前n项和,注意裂项时式子的系数,属于中档题.22.已知:在等差数列an中,a1= 2,a1+a2+a3= 12(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=an3n,求数列bn的前n项之和为Sn【答案】(1);(2).【解析】【详解】(1)因为,所以,解得,所以(2),得,即,所以
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