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第1页 共 20页 2020 年辽宁省高考数学 理科 模拟试卷 1 一 选择题 共12 小题 满分60 分 每小题5分 1 5 分 设全集U x x 0 M x 1 e x e2 则 UM A 1 2 B 2 C 0 1 2 D 2 2 5 分 若复数z满足 z 1 i 2 i i 是虚数单位 则 z 为 A 1 3 B 1 2 C 1 4 D 1 5 3 5 分 已知 0 则 sin sin 1 3 是 sin 1 3 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4 5 分 若 9 4 1 2 b 3log83 2 3 1 3 则 a b c 的大小关系是 A c b aB a b cC b a cD c a b 5 5 分 公元 263 年左右 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时 多 边形面积可无限逼近圆的面积 并创立了 割圆术 利用 割圆术 刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值3 14 这就是著名的 徽率 如图是利用刘徽的 割圆术 思想设计的一个程序框图 则输出n 的值为 参考数据 3 1 732 sin15 0 2588 sin7 5 0 1305 A 12B 24C 36D 48 6 5 分 由 0 1 2 3 4 5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为 A 288B 360C 480D 600 第2页 共 20页 7 5 分 如图 B 是 AC 上一点 分别以AB BC AC 为直径作半圆 从B 作 BD AC 与半圆相交于D AC 6 2 2 在整个图形中随机取一点 则此点取自图中阴影 部分的概率是 A 2 9 B 1 3 C 4 9 D 2 3 8 5 分 设变量 x y 满足约束条件 1 2 2 1 0 则 z x 3 2 y2 的最小值为 A 2B 4 5 5 C 4D 16 5 9 5 分 在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P 是底面 ABCD 上 含边界 一动点 满足 A1P AC1 则线段 A1P 长度的取值范围 A 6 2 2 B 6 2 3 C 1 2 D 2 3 10 5 分 在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P 为 A1D1的中点 若三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上 则球O 的表面积为 A 12 B 21 2 C 41 4 D 10 11 5 分 平面直角坐标系中 O 为坐标原点 设向量 其中 1 2 2 1 平面区域D 由所有满足 0 1 的点 P x y 组成 点 P 使得 z ax by a 0 b 0 取得最大值3 则 1 2 的最小值是 A 3 2 2B 4 2C 2D 3 12 5 分 若函数 f x mx2 4mx 3 0 在 R 上恒成立 则实数 m 的取值范围是 A 0 2 3 B 0 3 4 C 3 4 D 0 2 3 二 填空题 共4 小题 满分20 分 每小题5 分 13 5 分 正项等比数列 an 满足 1 3 5 4 且 2a2 1 2 4 a3成等差数列 则 a1a2 a2a3 anan 1 取得最小值时的 n 值为 第3页 共 20页 14 5 分 若 a 3 0 则 2 6 展开式的常数项为 15 5 分 已知抛物线y2 4x 上有三点 A B C 直线 AB BC AC 的斜率分别为 3 6 12 则 ABC 的重心坐标为 16 5 分 已知函数f x 1 2 2 1 1 若 f 4 m f m 8 4m 则实数 m 的取 值范围为 三 解答题 共6 小题 满分70 分 17 10 分 已知函数 3 2 1 1 求 f x 的最小正周期及单调递减区间 2 在 ABC 中 a b c 分别是角A B C 的对边 若f C 2 a b 4 且 ABC 的面积为 3 3 求 ABC 外接圆的半径 18 12 分 当前 以 立德树人 为目标的课程改革正在有序推进 高中联招对初中毕业 学生进行体育测试 是激发学生 家长和学校积极开展体育活动 保证学生健康成长的 有效措施 某市2018 年初中毕业生升学体育考试规定 考生必须参加立定跳远 掷实心 球 1 分钟跳绳等三项测试 三项考试总分为50 分 其中立定跳远15 分 掷实心球15 分 1 分钟跳绳20 分 某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情 况 随机抽取了100 名学生进行测试 得到每段人数的频率分布直方图 如图 且规定 计分规则如表 每分钟跳绳个数 155 165 165 175 175 185 185 得分17181920 1 现从样本的100 名学生中 任意选取2 人 求两人得分之和不大于35 分的概率 2 若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布N 2 用样本数据的 平均值和方差估计总体的期望和方差 已知样本方差S 2 169 各组数据用中点值代 替 根据往年经验 该校初三年级学生经过一年的训练 正式测试时每人每分钟跳绳个 数都有明显进步 假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增 加 10 个 现利用所得正态分布模型 预估全年级恰好有2000 名学生时 正式测试每分钟跳182 个以上的人数 结果 四舍五入到整数 若在全年级所有学生中任意选取3 人 记正式测试时每分钟跳195 个以上的人数 第4页 共 20页 为 求随机变量 的分布列和期望 附 若随机变量X 服从正态分布N 2 则 P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 P 3 X 3 0 9974 19 12 分 如图 在四棱柱ABCD A B C D 中 底面ABCD 为等腰梯形 DA AB BC 1 DC 2 平面 DCC D 平面 ABCD 四边形DCC D 为菱形 D DC 60 求证 DA BC 求DA 与平面 BCC B 所成角的正弦值 20 12 分 椭圆M 的中心在坐标原点O 左 右焦点F1 F2在 x 轴上 抛物线N 的顶点 也在原点O 焦点为 F2 椭圆 M 与抛物线 N 的一个交点为A 3 2 6 求椭圆M 与抛物线N 的方程 在抛物线M 位于椭圆内 不含边界 的一段曲线上 是否存在点B 使得 AF1B 的外接圆圆心在x 轴上 若存在 求出B 点坐标 若不存在 请说明理由 21 12 分 已知函数 1 2 2 第5页 共 20页 1 若函数 f x 在点 1 f 1 处的切线方程为4x 2y 3 0 求实数a 的值 2 当 a 0 时 证明函数g x f x a 1 x 恰有一个零点 22 12 分 在直角坐标系xOy 中 曲线 C 的参数方程为 t 为参数 点 A 1 0 B 3 3 若以直角坐标系xOy 的 O 点为极点 x 轴正方向为极轴 且长度单位相同 建立极坐标系 1 求直线 AB 的极坐标方程 2 求直线 AB 与曲线 C 交点的极坐标 第6页 共 20页 2020 年辽宁省高考数学 理科 模拟试卷 1 参考答案与试题解析 一 选择题 共12 小题 满分60 分 每小题5分 1 5 分 设全集U x x 0 M x 1 e x e2 则 U M A 1 2 B 2 C 0 1 2 D 2 解答 解 U x x 0 M x 0 x 2 UM 2 故选 D 2 5 分 若复数z满足 z 1 i 2 i i 是虚数单位 则 z 为 A 1 3 B 1 2 C 1 4 D 1 5 解答 解 由 z 1 i 2 i 得 z 1 2 2 1 2 z 1 2 故选 B 3 5 分 已知 0 则 sin sin 1 3 是 sin 1 3 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解答 解 0 sin sin cos cos sin sin sin 1 3 0 则 sin sin 1 3 是 sin 1 3 的充分不必要条件 故选 A 4 5 分 若 9 4 1 2 b 3log83 2 3 1 3 则 a b c 的大小关系是 A c b aB a b cC b a cD c a b 解答 解 9 4 1 2 3 2 b 3log83 log23 2 8 3 2 2 3 1 3 2 3 0 1 a b c 的大小关系是c a b 故选 D 第7页 共 20页 5 5 分 公元 263 年左右 我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时 多 边形面积可无限逼近圆的面积 并创立了 割圆术 利用 割圆术 刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值3 14 这就是著名的 徽率 如图是利用刘徽的 割圆术 思想设计的一个程序框图 则输出n 的值为 参考数据 3 1 732 sin15 0 2588 sin7 5 0 1305 A 12B 24C 36D 48 解答 解 模拟执行程序 可得 n 6 S 3sin60 3 3 2 不满足条件S 3 10 n 12 S 6 sin30 3 不满足条件S 3 10 n 24 S 12 sin15 12 0 2588 3 1056 满足条件S 3 10 退出循环 输出n 的值为 24 故选 B 6 5 分 由 0 1 2 3 4 5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为 A 288B 360C 480D 600 解答 解 根据题意 末位数字可以为1 3 5 有 A31种取法 首位数字不能为0 有 A41种取法 再选3 个数字 排在中间 有A43种排法 则五位奇数共有A31A41A43 288 故选 A 7 5 分 如图 B 是 AC 上一点 分别以AB BC AC 为直径作半圆 从B 作 BD AC 与半圆相交于D AC 6 2 2 在整个图形中随机取一点 则此点取自图中阴影 第8页 共 20页 部分的概率是 A 2 9 B 1 3 C 4 9 D 2 3 解答 解 连接AD CD 可知 ACD 是直角三角形 又 BD AC 所以 BD 2 AB BC 设 AB x 0 x 6 则有 8 x 6 x 得 x 2 所以 AB 2 BC 4 由此可得图中阴影部分的面积等于 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 故概率 2 1 2 9 4 9 故选 C 8 5 分 设变量 x y 满足约束条件 1 2 2 1 0 则 z x 3 2 y2 的最小值为 A 2B 4 5 5 C 4D 16 5 解答 解 画出变量x y 满足约束条件 1 2 2 1 0 的可行域 可发现 z x 3 2 y2的最小值是 3 0 到 2x y 2 0 距离的平方 取得最小值 6 2 4 1 2 16 5 第9页 共 20页 故选 D 9 5 分 在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P 是底面 ABCD 上 含边界 一动点 满足 A1P AC1 则线段 A1P 长度的取值范围 A 6 2 2 B 6 2 3 C 1 2 D 2 3 解答 解 AC1 平面 BDA1 所以点 P 的轨迹就是线段 BD 满足 A1P AC1 所以 P 在 B 或 D 时 A1P 最长为 2 在 BD 中点时 A1P 最短为 6 2 故选 A 10 5 分 在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P 为 A1D1的中点 若三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上 则球O 的表面积为 A 12 B 21 2 C 41 4 D 10 解答 解 取 AC 的中点 E 做 EF AF 与 F 连接 PF 可得 PF AF 过 E 做垂直于 面 ABC 的直线 由题意可得外接球的球心直线直线EO 上 设球心为O 过 O 做 OM 面 PAF 交于 M 由正方体性质可得 M 在 PF 上 四边形OEFM 为矩形 MF OE OM EF PF AB 2 连接 PO OC 可得都是外接球的半径 由题意可得 CE 2 2 AB 2 EF 2 1 在三角形OEC 中 OC2 OE2 EC2 OE2 2 2 2 OE2 第10页 共 20页 在三角形POM 中 OP2 OM 2 PF FM
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