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【纠错必备】勾股定理一、疏忽勾股定理使用条件致错例1已知ABC各边长均为整数,且AB4,BC3,ACAB,试求ABC的周长.错解:由勾股定理得AC=5,所以ABC的周长为:AB+BC+AC4+3+512.剖析:应用勾股定理必须是在直角三角形的条件下才可以,而本题并未说明ABC是直角三角形,因此,要用三角形三边的关系求解.正解:由三角形的三边关系得ABBCACAB+BC,即1ACAB4,AC为整数,所以AC的长为5或6.于是,当AC5时,ABC的周长为12;当AC=6时,ABC的周长为13.评注:当题目没有给出某个三角形为直角三角形时,不能直接套用勾股定理.跟踪训练1如图,在ABC中,AB10,BC16,BC边上的中线AD6,试说明:ABAC.二、混淆勾股定理与勾股定理的逆定理例2若ABC的三边长分别为5、12、13,试判断ABC的形状.错解:因为52+122132,所以根据勾股定理,知ABC是直角三角形.剖析:错解错在判断的依据是错误的.因为勾股定理只有在先有“直角三角形”这一条件才可以使用的,勾股定理的逆定理与勾股定理是互逆的定理,即若某三角形的三边满足c2=a2+b2,则此三角形是直角三角形,且C=90.正解:因为52+122132,故由勾股定理的逆定理知ABC是直角三角形.评注:要分清勾股定理与勾股定理逆定理的应用条件,当用到勾股定理时,前提条件是已知三角形为直角三角形,而勾股定理逆定理,是用来判断三角形是否为直角三角形,即先由两边的平方和等于第三边的平方,而得出该三角形为直角三角形.跟踪训练2一个三角形的三条边长分别为15 cm、20 cm、25 cm,则这个三角形最长边上的高为【】A9 cm B10 cm C11 cm D12 cm三、受思维定势影响致错例3已知ABC中,a=m2n2,b=m2+n2,c=2mn,其中m、n是正整数,且mn,试判断ABC是否为直角三角形.错解:因为a2+b2(m2n2)2+(m2+n2)22m4+2n4,c2=4m2n2,所以c2a2+b2,所以ABC不是直角三角形.剖析:错解的原因是受思维定势(勾股定理的一般表达式:a2+b2=c2)的影响而误认为c是最大边,其实解本题的关键之一是确定最大边,然后根据勾股定理的逆定理来判定该三角形是否为直角三角形.正解:由m、n是正整数,且mn,可知ba,又bc=m2+n22mn=(mn)20,所以bc.而a+c(mn)+(2mn)=m2mn+n4+4mnm+2mn+n(m+n)2.则b=a+c,所以ABC是直角三角形.评注:解这类题首先要认清哪边是斜边,只有斜边的平方才是另外两边的平方和.实际题目中所给的字母所指的边与公式a+b=c所指的边不一定完全对应.跟踪训练3在ABC中,已知B=90,A、B、C的对边分别是a、b、c,且a=5,b=12,求c的长.答案 1.解:因为AD是BC边上的中线,所以BDCDBC8.在ADB中,有62+82102,即AD2+BD2AB2,所以ADB是直角三角形.ADBC.由线段垂直平分线的性质可得ABAC. 2.D 3.3
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