2011年春八下四边形题型集锦 1.谈线段、角的和差倍分问题的证明证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。一. 转化为证明相等的一般方法通过作图转化1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）、分解法把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量、合成法作出两个小量的和，证它与大量相等2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍、折半法作出大量的一半，证它与小量相等、加倍法作出小量的2倍，证它与大量相等应用有关定理转化1、三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2、直角三角形斜边中线等于斜边的一半3、直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5、等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6、三角形的重心（各中线的交点）分中线为217、有关比例线段定理二. 用代数恒等式的证明1. 由左证到右或由右证到左2. 左右两边分别化简为同一个第三式3. 证明左边减去右边的差为零4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论典型例题：一、运用定理法ABDCNM123 例1 、 如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC中点.求证：DM = AB分析：如图，因为AB等于ABC的中位线NM的长，所以原命题就转化为证明DMNM。DN为RtADC斜边上的中线，DN=NC；2=C，又2C=B=1=2+3,2=3=C ，DM=MN，问题得证。说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。 二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。例2、已知：ABC中，B2C，AD是高求证：DCABBD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。可以以高AD为轴作ADB的对称三角形ADE，再证ECAE。AEBB2C且AEBCEAC，EACC辅助线是在DC上取DEDB，连结AE。分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BFAB，连结AF，则可得ABD2F2C。、 如图，在ABC中，BD=FC，FGDEBA，D、F在BC上，E、G在AC上.ABCDFHEG求证：FG=AB-DE分析：本题的关键在于构造一条线段，使之等于（AB-DE）,如图，在AB上载取线段AH=DE，则AB-DE=BH，从而把原命题转化为证明FG=BH的问题，进而通过证BHDFGC，使原命题得证。A ABCDPQE123、 如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分PAD.求证：AP=BP+DQ.证明：延长PB至E，使BE=DQ，四边形ABCD是正方形，BA=AD，EBA=QDA=90ABEADQ，E=4，3=1，1=2，3=2，PAQ=BAQ=4E=PAE，PE=AP，既BP+BE=AP，BP+DQ=AP说明：例3通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例4通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。例5、已知：ABC中，B和C的平分线相交于I，求证：BIC90A证明一：（由左到右）BIC180（12）180（ABCACB）180（ABCACBA）A90A证明二：（左边右边0） BIC（90A）180（ABCACB）90A90（ABCACBA） 证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）AABCACB180A180（ABCACB）则 A90（ABCACB）90A180（ABCACB），即BIC90A例6、 如图，ABC中，BAC=90，AE是经过点A的一条直线，交BC于F，且B、C在AE在的异侧，BDAE于D，CEAE于E， 求证：DB=DE+CE。分析：通过分析题目的已知条件可知：ABDCAE ,从而得AD=CE，则DE+CE=AE，而BD=AE，原命题得证。例7、 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CEADAE，F是AB的中点，求证：DCE2BCF分析：本题显然应着重考虑如何发挥CEADAE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图），后一种想法更容易些。ABEDFC辅助线如图，证明（略）自己完成三、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。ABEDC例8、 如图，在ABC中，BD是B的平分线，ABD的外接园交BC于E，若AB=AC，求证：CE=2AD。分析：因为“CE=2AD”与“AB=AC”的倍分关系一致，因此想办法通过比例式将这些线段联系起来，连接DE，则CDE=ABC，故CDECBA，得CE：DE=AC：AB=2，又由BD为ABC的平分线得DE=AD，所以CE：AD=2，即CE=2AD。 2.单元综合测试题一、 填空题（共 26 题）1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 。2若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为12，则该菱形的面积为 cm2。3 如图2，ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm。4如下图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为 cm2。5梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是 。 6如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2题6ABCD 7在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ABO的周长为17，AB6，那么对角线ACBD 8已知菱形ABCD的边长为6，A60，如果点P是菱形内一点，且PBPD2那么AP的长为 。9在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 。10.已知矩形的周长为40，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8，则较大的边长为 .11将一矩形纸条，按如图3所示折叠，则1 = _度。12如图4，在梯形中，分别是对角线、的中点，则 。13.如图5，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F, F为垂足，连接DE，则CDE= 图3 图4 图514.如图6，在梯形ABCD中，ADBC，ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3, 则梯形的周长为 。15.如图7，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC, 则ACP的度数是 16.如图，菱形ABCD中，BAD=60，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB最小值是3，则AB长为 。图6 图7 图8 17.若一个平行四边形的边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线x的取值范围是 。18如图9, 在等腰梯形ABCD中, ADBC, B=60, AD=4, BC=7, 则梯形ABCD的周长是 。19如图10，在ABC中，EF为ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件 （只添加一个）。图9 图1020如图11，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2（填“”或“”或“” ）。21如图12，四边形ABCD是正方形，P在CD上，ADP旋转后能够与ABP重合，若AB3，DP1，则PP 。 22如图13，在梯形ABCD中,已知ABCD,点E为BC的中点, 设DEA的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,则S1与S2的关系为 。 图11图13EDCBA图1223.如图14，ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE向上翻折，点A正好落