7.2.3 相似三角形的周长与面积构造中位线巧解题在解答某些与中点有关的几何说理题时，若能根据题意巧妙地作出中位线，就会有出奇制胜的效果。下面结合几道例题予以说明：一、说明角相等ABFCDNME例1已知，如图1，四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N。试说明：AMEDNE。解：连结BD，取BD的中点O，连结OE、OF。O易得EOAB且EOAB，FOCD且FOCD。所以OEFAME，OFEDNE，又因为ABCD，所以EOFO，所以OEFOFE，所以AMEDNE。图1二、说明线段相等DABCOEFMNP例2 已知，如图2，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N。试说明：OMON。解：取AB的中点P，连结EP、FP。易得EPBD且EPBD，FPAC且FPAC。图2所以DNEPEN，CMFPFM，又因为ACBD，所以PEPF，所以PENPFM，所以DNECMF，BACEDG所以OMON。三、说明面积相等例3 已知，如图3，ABC的中线AD、BE交于点G。试说明：SABGS四边形CEGD。图3解：连结DE，易得DEAB，所以SABESABD。又因为AD是ABC的BC边上的中线，所以SABDSACD，所以SABESACD。所以SABESAEGSACDSAEG，即SABGS四边形CEGD。图4BCMNAD四、说明线段垂直例4 已知，如图4，在梯形ABCD中，ADBC，ADBCAB，M是CD的中点。试说明：AMBM。解：取AB的中点N，连结MN。易得MN（ADBC）。又因为ADBCAB，所以MNABANBN，所以AMBM。2