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不等式的性质及其解集典例剖析例1根据不等式的基本性质,把下列不等式化为或的形式. (1) 70; (2)15;(3)25; (4)1. 【分析】本例考查了不等式基本性质的简单应用。 【解题思路】本例利用了不等式的以下三条基本性质:不等式基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变. 不等式基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式基本性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 第(1)小题中,在原不等式的两边都加上7,根据不等式基本性质1,此时不等号的方向不变,所以得:7;第(2)小题中,在原不等式的两边都加上,根据不等式基本性质1,此时不等号的方向不变,所以得:15;第(3)小题中,在原不等式的两边都除以2(或者乘),由于2是正数,根据不等式基本性质2,此时不等号的方向不变,所以得: ;第(4)小题中,在原不等式的两边都乘5(除以),由于5是负数,根据不等式基本性质3,此时不等号的方向改变,所以得:5。解:(1)根据不等式基本性质1,在原不等式的两边都加上7,得7;(2)根据不等式基本性质1,在原不等式的两边都加上,所以得15;(3)根据不等式基本性质2,在原不等式的两边都除以2(或者乘),得 ;(4)根据不等式基本性质3,在原不等式的两边都乘5(除以),得5。【跳出误区】在解本题时,最容易出现的错误是受到等式的基本性质的思维定势干扰,把不等式的基本性质2、3合在一起,错误地认为“不等式两边都乘(或除以)同一个不等于0的数,不等号的方向不变”,而不管两边都乘(或除以)的数是正数还是负数,一律不改变不等号的方向。比如,在解第(4)小题时,虽然在原不等式的两边都乘5(除以),但是并不改变不等号的方向,得到5的错误结果。例2 不等式3与3有什么不同?在数轴上表示它们时怎样区别?分别在数轴上把这两个解集表示出来. 【分析】本例考查的是在数轴表示不等式的解集,这是解不等式或不等式组的基础.【解题思路】本例中的两个解集3与3区别在不等号上,值得注意的是用“”或者“”形式表示的解集中包括这个数;而用“”或者“”形式表示的解集中不包括这个数。 它们在数轴上表示的方法也不相同,用“”或者“”形式表示的解集在数轴上表示时,数字处画一个实心的圆点“”,而用“”或者“”形式表示的解集在数轴上表示时,数字处画一个空心的圆圈“。”. 在数轴上表示解集时,“大于”的要顺着数轴的正方向画,“小于”的要逆着数轴的正方向画. 解:不等式3的范围内不包括3,而不等式3的范围内包括3.,在数轴上表示3时,在表示3的点的位置画一个空心的圆圈“”,如图1所示;表示3时,在表示3的点的位置画一个实心的圆点“”,如图2所示.【跳出误区】在解本题时,要注意区分起点处使用的实心圆点“”或者空心圆圈“”,不能搞混. 可以这样理解:实心圆点“”表示包括这个点所表示的数,而空心圆圈“”表示不包括这个点所表示的数. 在数轴上表示解集时画的方向,则符合了“数轴上右边的数一定大于左边的数”的道理. 3
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