屯溪一中20202020学年度高二第二学期期中考试数学（文科）试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数的极值点为，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，根据函数的极值点为，可得，进而可求出结果.【详解】因为，所以；又的极值点为，所以，即.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，已知极值点求参数的问题，属于基础题型.2.曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，求出函数在处的切线斜率，进而可求出结果.【详解】令，则，故曲线在点处的切线斜率为，所以所求切线方程为，整理得.故选D【点睛】本题主要考查曲线在某点处的斜线方程，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.3.已知关于两个变量的回归方程为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的平均值，根据回归直线过样本中心，即可求出结果.【详解】因为，所以，又关于两个变量的回归方程为，所以.故选B【点睛】本题主要考查回归直线方程，熟记回归直线必过样本中心即可，属于基础题型.4.一个质点运动的路程与时间的关系，的单位是米（），的单位是秒（），则该质点在时的速度是（ ）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，求出，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选C【点睛】本题主要考查瞬时变化率，求瞬时速度即是求该点处的导数，属于基础题型.5.已知，且，则的值（ ）A. 一定是正数B. 一定是负数C. 可能是零D. 正、负不能确定【答案】B【解析】试题分析：根据，可得中有个负数，有一个为正数，不妨设，且，所以，所以，而，所以，故选B.考点：不等式的性质.【方法点晴】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中涉及不等式的性质及化简，负数的性质以及绝对值的含义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中根据，可得中有个负数，有一个为正数是解答关键.6. （2020浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由yf(x)的图象知，yf(x)的图象为增函数，且在区间(1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢7.函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，由即可求出结果.【详解】因为，所以，由，可得，解得.故选D【点睛】本题主要考查函数的单调区间，根据导数的方法求解即可，属于基础题型.8.已知函数在上既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在上既存在极大值又存在极小值，得到方程有两不等实根，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因为函数在上既存在极大值又存在极小值，所以只需方程有两不等实根即可，即，解得或.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，对函数求导，根据函数有极值求出参数即可，属于常考题型.9.设，则（ ）A. 8B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数定义即可得到结果.【详解】，故选A【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数概念以及运算法则即可，属于基础题型.10.设，那么、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题考查不等式的应用.易知，则的大小关系与大小关系是一致的.因为而所以，则； 又因为且所以所以即，所以由得故正确答案为11.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，根据恒成立，得到恒成立；配方法求出的最小值即可.【详解】因为，所以，由恒成立，可得：恒成立，即恒成立；又，所以只需，即可使恒成立.故选C【点睛】本题主要考查根据不等式恒成立求参数的问题，一般用分离参数的方法求解，属于常考题型.12.点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，则的最小值为（ ）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由与互为反函数，得到两函数图像关于直线对称；因此只需两点关于直线对称，点到直线距离最小时，最小；设，根据点到直线距离公式、以及导数的方法求解即可.【详解】因为与互为反函数，所以两函数图像关于直线对称；点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，所以只需两点关于直线对称，点到直线距离最小时，最小；设，由点到直线的距离公式可得，点到直线距离，令，则，由可得：；由可得：，所以在上单调递减，在上单调递增；故,所以，因此的最小值为.故选A【点睛】本题主要考查导数的应用、以及函数图像的对称性，熟记导数的方法求函数的最值，灵活掌握点到直线距离公式等，即可求解，属于常考题型.二、填空题（把答案填在答题卡的相应位置上。）13.已知，若，则_。【答案】【解析】【分析】由题意，先求出，归纳出的表达式，即可求出结果.【详解】因为，所以，.，归纳可得，因此.故答案为【点睛】本题主要考查归纳推理，根据题中条件逐步递推即可，属于常考题型.14.在中，则的外接圆半径为，将此结论类比到空间，得到类似的结论为:四面体中，设，,，则四面体的外接球的半径为_【答案】【解析】【分析】在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理线的性质，由线的性质类比推理面的性质，由已知在平面几何中中，则的外接圆半径为，我们可以类比这一性质，直接得出空间中有三条侧棱两两垂直的四面体中类似的结论.【详解】由已知在中，则的外接圆半径为，我们可以类比这一性质，推理出：四面体中，设，,，则四面体的外接球的半径为.故答案【点睛】本题主要考查类比推理，熟记类比推理的概念即可，属于常考题型.15.某厂生产某种产品件的总成本（单位：万元），又知产品单价的平方与产品件数成反比，生产件这样的产品单价为万元，则产量定为_件时总利润最大。【答案】【解析】【分析】先设产品单价为，根据产品单价的平方与产品件数成反比，所以，由生产件这样的产品单价为万元，求出；再记生产件产品时，总利润为,可得，用导数的方法研究其单调性，即可求出结果.【详解】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以,（其中为非零常数），又生产件这样的产品单价为万元，所以，故，记生产件产品时，总利润为,所以,则，由得：，由得：，故函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，取最大值.即产量定为件时，总利润最大。故答案为【点睛】本题主要考查函数的应用，根据题意建立等量关系，由导数方法研究函数单调性即可得出结果，属于常考题型.16.已知定义在的函数的导函数，且满足，则的解集为_。【答案】【解析】【分析】先由换元法令，得，将化为；再令，用导数方法结合题中条件判断单调性，再由，求出的范围，进而可得出原不等式 解集.【详解】令，得，所以不等式可化为，即；令，则，因为定义在的函数的导函数，且满足，所以，因此函数在上单调递增；又，所以，因此由得，所以，故，解得.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需用换元法将原式变形，再构造函数，用导数方法研究新函数的单调性等，即可求解，属于常考题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。）17.有人记录了某种设备的保养和维修费用（万元）与使用年数（年）的前年的数据如下表所示。使用年数保养和维修费用由与的散点图分析可知，与具有线性相关，求回归直线方程。根据所得的方程，如果这台设备要使用年，问这台设备第年大约需要多少保养和维修费用？（参考公式：）【答案】(1) (2) 万元【解析】【分析】（1）根据题中数据求出，根据求出，再得到，即可得出结果；（2）将代入（1）的结果即可求出预测值.【详解】由题意可得：，所以，因此回归直线的方程为：；根据所得的方程，当时，（万元）。这台设备第年大约需要保养和维修费大约为万元。【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求，即可，属于常考题型.18.某大型活动即将举行，为了做好接待工作，组委会招募了名男志愿者和名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有人和人喜爱运动，其余人不喜爱运动。根据以上数据完成以下列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男志愿者女志愿者总计根据列联表判断能否有的把握认为性别与喜爱运动有关？下面的临界值表供参考： 0.150.100.0500250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式： ，其中)【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据题中数据可直接完善列联表；（2）先由，求出，再由临界值表，即可得出结果.【详解】完成以下列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男志愿者女志愿者总计所以我们没有的把握认为性别与喜爱运动有关。【点睛】本题主要考查独立性检验，完善列联表以及求的值，是常考内容，属于基础题型.19.设, 且，求证：；。【答案】(1) 见证明；(2) 见证明【解析】【分析】(1)根据，得到；由基本不等式可得，进而可证明结论成立；(2)先由基本不等式得到，进而可得，再由题中条件，即可求出结果.【详解】因为, 且，所以，即，又，所以，因此。由基本不等式可得，所以又，所以.【点睛】本题主要考查不等式的证明，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.20.设，且，用反证法证明：至少有一个大于。【答案】见证明【解析】【分析】用反证法，先假设结论不成立，即，得到，再由题中条件求出的范围，推出矛盾，即可得结论成立.【详解】证明：（反证法） 假设结论不成立，即 ，而这与相矛盾故至少有一个大于。【点睛】本题主要考查反证法，熟记反证思想，即可求解，属于常考题型.21.已知函数。若有极值，求的取值范围；当在处取得极值时，对于内的任意两个值，都有。【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据函数有极值可得，有两不等实根，即，求解即可得出结果；