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初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图,限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法:在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前,许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后,尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在几何原本之中.初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们(或一部分)所组成的图形,因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条: 经过两已知点可以画一条直线; 已知圆心和半径可以作一圆; 两已知直线;一已知直线和一已知圆;或两已知圆,如果相交,可以求出交点;以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题;否则,就称为尺规作图不能问题.历史上,最著名的尺规作图不能问题是: 三等分角问题:三等分一个任意角; 倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍; 化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题;1882年,德国数学家林德曼(Ferdinand Lindemann)证明是一个超越数(即是一个不满足任何整系数代数方程的实数),由此即可推得根号(即当圆半径时所求正方形的边长)不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题: 正多边形作法 只使用直尺和圆规,作正五边形. 只使用直尺和圆规,作正六边形. 只使用直尺和圆规,作正七边形这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的. 问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题. 四等分圆周只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分这个问题传言是拿破仑波拿巴出的,向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸:用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图,已知两点、,找出一点使得.3.已知两点、,只用半径固定的圆规,求作使是线段的中点.4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出!.五种基本作图:初中数学的五种基本尺规作图为:1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法: 轨迹交点法:解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的,先放弃其中一个条件,那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹;若改变放弃另一个条件,这个点就在另一条轨迹上,故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法,或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇、的距离必须相等,到两条高速公路、的距离也必须相等,发射塔应修建在什么位置?【分析】 这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点应满足两个条件,一是在线段的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点应是它们的交点.【解析】 作两条公路夹角的平分线或; 作线段的垂直平分线;则射线,与直线的交点,就是发射塔的位置. 代数作图法:解作图题时,往往首先归纳为求出某一线段长,而这线段长的表达式能用代数方法求出,然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规,不许用直尺,四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为.可算出其内接正方形边长为,也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个的长度.设法构造斜边为,一直角边为的直角三角形,的长度自然就出来了.【解析】 具体做法: 随便画一个圆.设半径为1. 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为. 以这个距离为半径,分别以两个相对的等分点为圆心,同向作弧,交于一点.(“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦!两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2,腰为的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是.) 以的长度等分圆周就可以啦! 旋转法作图:有些作图题,需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度,以使已知图形与所求图形发生联系,从而发现作图途径.【例3】 已知:直线、,且.求作:正,使得、三点分别在直线、上.【分析】 假设是正三角形,且顶点、三点分别在直线、上.作于,将绕点逆时针旋转后,置于的位置,此时点的位置可以确定.从而点也可以确定.再作,点又可以确定,故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法: 在直线上取一点,过作于点; 以为一边作正三角形; 过作,交直线于; 以为圆心,为半径作弧,交于(使与在异侧). 连接、得.即为所求. 位似法作图:利用位似变换作图,要作出满足某些条件的图形,可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形,然后利用位似变换,将这个与其位似得图形放大或缩小,以满足全部条件,从而作出满足全部的条件.【例4】 已知:一锐角.求作:一正方形,使得、在边上,在边上,在边上.【分析】 先放弃一个顶点在边上的条件,作出与正方形位似的正方形,然后利用位似变换将正方形放大(或缩小)得到满足全部条件的正方形.【解析】 作法: 在边上任取一点,过作于 以为一边作正方形,且使在的延长线上. 作直线交于. 过分别作交于;作交于. 过作交于.则四边形即为所求. 面积割补法作图:对于等积变形的作图题,通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形,再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形,使面积不变,从而完成所作图形.【例5】 如图,过的底边上一定点,求作一直线,使其平分的面积.【分析】 因为中线平分的面积,所以首先作中线,假设平分的面积,在中先割去,再补上.只要,则和就同底等高,此时它们的面积就相等了.所以就平分了的面积.【解析】 作法: 取中点,连接; 过作交于; 过、作直线.直线即为所求.6
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