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单元测评(九)测试内容:圆锥曲线方程测试时间:120分钟试卷满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分1已知抛物线C:y2x与直线l:ykx1.“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:由题意,知直线l过定点(0,1),点(0,1)在抛物线C的外侧,所以k0时直线l与抛物线C可能有两个交点,可能有一个交点,可能没有交点,故“k0”不能推出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”反之,“直线l与抛物线C有两个不同的交点”可以推得“k0”,所以“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的必要不充分条件答案:B2若双曲线1(a0,b0)的离心率是2,则的最小值为()A.B.C2D1解析:由e2,得2,从而ba0,所以a2 2,当且仅当a,即a时,等号成立答案:A3已知双曲线16y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m()A1 B2 C3 D4解析:双曲线的方程可化为1,所以a,b,取顶点(0,),一条渐近线为mx4y0.,即m21625,m3.答案:C4设椭圆1(m0,n0)的焦点在抛物线y28x的准线上,离心率为,则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:抛物线的准线方程为x2,故椭圆的左焦点坐标为(2,0),显然椭圆的焦点在x轴上,且c2.又因为离心率为,所以a4,故b2a2c212.椭圆的方程为1.答案:B5双曲线1(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上的一点,且|PF1|3|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A(1,4) B(1,2C(2,) D2,)解析:如图,设|PF2|m,则|PF1|3m,F1PF2(0),则2a|PF1|PF2|2m.由余弦定理可得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(3m)2m223mmcos10m26m2cos,故2c|F1F2|,故e .因为(0,所以1cos1,e(1,2答案:B6两个正数a、b的等差中项是,等比中项是,则双曲线1的离心率e等于()A. B.或C. D.或解析:由题意,可得解得或当a3,b2时,双曲线的离心率为e;当a2,b3时,双曲线的离心率为e.所以双曲线的离心率为或.答案:D7设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为12.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:由已知得,在椭圆C1中,a6,c5,由此可得在双曲线C2中的a4,c5,故双曲线C2中的b3,双曲线C2的方程为1.答案:A8若双曲线1的渐近线与圆(x2)2y23相切,则此双曲线的离心率为()A1.5 B2 C3.5 D4解析:双曲线的渐近线方程为bxay0.由题意得,圆心到渐近线的距离等于圆的半径,即,整理,得ba,故c2a.故离心率e2.答案:B9若直线mxny4与圆O:x2y24没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个 B2 C1 D0解析:由直线和圆没有交点,可得2,整理,得m2n24,故点P(m,n),必在椭圆内,故过该点的直线与椭圆必有2个公共点,故选B.答案:B10若点F1、F2分别为椭圆y21的左、右焦点,P为椭圆上的点,若PF1F2的面积为,则的值为()A0 B. C1 D解析:不妨设点P(x,y)在第一象限,由题意,得F1(,0),F2(,0),SPF1F2|F1F2|y|y,解得y.代入椭圆方程,得x1,即点P的坐标为(1,)故(1,),(1,)则(1)(1)()()2.答案:D11已知点P是抛物线y22x上的动点,点P到准线的距离为d,点A(,4),则|PA|d的最小值是()A. B4 C. D5解析:设抛物线y22x的焦点为F,则F(,0)又点A(,4)在抛物线的外侧,且点P到准线的距离为d,所以d|PF|,则|PA|d|PA|PF|AF|5.答案:D12已知F1、F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,M为双曲线上除顶点外的任意一点,且F1MF2的内切圆交实轴于点N,则|F1N|NF2|的值为()Ab2 Ba2 Cc2 D.解析:由已知,得|MF1|MF2|2a,作图,易知|F1N|NF2|2a,又|F1N|NF2|2c,|F1N|ca或ca,|NF2|ca或ca.因此|F1N|NF2|(ca)(ca)c2a2b2. 答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值等于_解析:由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为(x,x2),根据点到直线的距离公式,得d(x)2,所以当x时,d取得最小值.答案:14已知A(,0),B是圆F:(x)2y24(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为_解析:|PA|PF|PB|PF|BF|21|AF|,所以点P的轨迹是以A、F为焦点,2为长轴长的椭圆,所以a1,c,b21.所以点P的轨迹方程为x2y21.答案:x2y2115若椭圆1的离心率e,则k的值为_解析:若焦点在x轴上,即k89时,a2k8,b29,e2,解得k4.若焦点在y轴上,即0k89时,a29,b2k8,e2,解得k.综上,k4,或k.答案:4或16已知双曲线1(a0,b0)且满足bab,若离心率为e,则e的最大值为_解析:因为bab,所以c2a2b2a2,a2,即c2,故e2,故e,因为te在(1,)上为增函数,故e的最大值为.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分17(本小题满分10分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上有一点P,F1PF2,且PF1F2的面积为3,求椭圆的方程解析:设椭圆的方程为1(ab0),F1(c,0)、F2(c,0)因为点P在椭圆上,所以|PF1|PF2|2a.在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|,即4c24a23|PF1|PF2|.又因SPF1F23,所以|PF1|PF2|sin3,得|PF1|PF2|12.所以4c24a236,得b29,即b3.又e,故a2b225.所以所求椭圆的方程为1.18(本小题满分12分)直线l:yax1与双曲线C:3x2y21相交于A,B两点(1)a为何值时,以AB为直径的圆过原点;(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于直线x2y0对称?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由解析:(1)联立方程ax1y与3x2y21,消去y,得(3a2)x22ax20.又直线与双曲线相交于A,B两点,0a(a)又依题有OAOB,令A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2x1x2,且y1y2(ax11)(ax21)a2x1x2a(x1x2)1.x1x2(1a2)a(x1x2)10.而由方程,知x1x2,x1x2.代入式,得10a21a1满足条件(2)假设这样的实数a存在,则l:yax1的斜率a2.又AB中点(,)在yx上,则y1y2(x1x2),又y1y2a(x1x2)2.a6,这与a2矛盾故这样的实数a不存在19(本小题满分12分)已知圆O:x2y21,点O为坐标原点,一条直线l:ykxb(b0)与圆O相切并与椭圆y21交于不同的两点A、B.(1)设bf(k),求f(k)的表达式;(2)若,求直线l的方程解析:(1)因为ykxb(b0)与圆x2y21相切,所以1,即b2k21,所以b(k0)即:f(k)(k0)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由消去y,得(2k21)x24kbx2b220.又8k20(k0),所以x1x2,x1x2.则y1y2.则x1x2y1y2.由,所以k21,则b22.又b0,故b.所以l:yx,或yx.20(本小题满分12分)已知曲线C上任一点P到直线x1与点F(1,0)的距离相等(1)求曲线C的方程;(2)设直线yxb与曲线C交于点A,B,问在直线l:y2上是否存在与b无关的定点M,使得AMB被直线l平分?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由解析:(1)依题意,曲线C为抛物线,且点F(1,0)为抛物线的焦点,x1为其准线,设抛物线方程为y22px,由1,得p2.则曲线C的方程为y24x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),假设存在点M(a,2)满足条件,则kAMkBM0,即0.即x2y1x1y22(x1x2)a(y1y2)4a0.而x1,x2.由整理,得y1y2(y1y2)4a(y1y2)2(yy)16a0.即y1y2(y1y2)4a(y1y2)2(y1y2)22y1y216a0.由得y24y4b0.则y1y24,y1y24b.将代入,得4b(4)4a(4)2(4)28b16a0,即a1.故存在点M(1,2)满足题意21(本小题满分12分)已知F为抛物线y22px的焦点,A(4,2)为抛物线内一定点,P为抛物线上一动点,且|PA|PF|的最小值为8.(1)求该抛物线的方程;(2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点,且|MN|32,求直线l的倾斜角的取值范围解析:(1)设P点到抛物线
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