年中考 年模拟 解直角三角形 考点清单 考点一 锐角三角函数 在 中 则 特殊角的三角函数值 示意图 考点二 解直角三角形 在 中 的对边分别为 则有下列关系 直角三角形角的关系 直角三角形边的关系 直角三角形边角的关系 考点三 解直角三角形的应用 解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形转化 到直角三角形中 用锐角三角函数 代数与几何知识综合求解 常见形式是作辅助线构造直角三角形 仰角 俯角 坡角 坡度 仰角与俯角 它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的 夹角 视线在水平线上方的角叫做仰角 在水平线下方的角叫做俯 角 如图 是仰角 是俯角 坡度与坡角 如图 通常把坡面的铅垂高度 和水平宽 度 的比叫做坡度 用字母 表示 即 坡面与水平面的夹角 叫做坡角 记作 则有 方向角 如图 点位于 点的北偏东 方向 点位 于 点的南偏东 方向 方法一 求锐角三角函数 掌握锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键 例 日照 分 在 中 则 的值为 解析 在 中 由勾股定理得 故选 答案 方法规律 求锐角三角函数值的方法 一般情况是把锐角放在直角三角形中 利用定义求解 以网格或坐标系为背景的题目 要分清直角边和斜边 根据勾股定理求出需要的边 还可以借助等角求值 把角转化到另一个直角三角形 中去 变式训练 湖北宜昌 分 在网格中的 位置如图所示 每个小正方形的边长为 于 下列 选项中 错误 的是 答案 观察题图可知 是等腰直角三角形 第六章 空间与图形 故 正确 故 正确 故 正确 故 错误 方法二 利用锐角三角函数进行边角计算 锐角三角函数是在直角三角形中定义的 没有直角三角形 时 需要通过转移角或添加辅助线构造直角三角形 把锐角放在 直角三角形中进行相关计算 例 湖北襄阳 分 如图 在 中 以点 为圆心 长为半径作弧 交 于 点 再分别以点 和点 为圆心 大于 的长为半径作弧 两弧相交于点 作射线 交 于点 则 的长为 解析 由题中作图方法可知 为线段 的垂线 在 中 在 中 故答案为 答案 思路分析 由尺规作图的步骤判断出 垂直 再利 用解直角三角形的知识分别求出 的长度即可 变式训练 黑龙江齐齐哈尔 分 四边形 中 是对角线 则线段 答案 或 解析 如图 作 直线 于点 直线 于 点 图 在 中 设 则 解得 在 中 设 则 解得 在 中 在 中 如图 同理 图 在 中 综上所述 线段 的长为 或 解题关键 考虑问题要全面 正确画出图形 通过作垂线 构造直角三角形 然后利用勾股定理求出线段 的长度是 关键 方法三 解直角三角形的应用 利用解直角三角形解决实际问题时 要读懂题意 分析背景 语言 由实物图抽象出数学图形 把实际问题转化为直角三角形 中的边角关系问题 具体方法如下 紧扣三角函数定义 寻找边角关系 添加辅助线 构造直角三角形 作高是常用的辅助线添 加方法 逐个分析相关直角三角形 构造方程求解 一般设最短 的边的长为 先分别在不同的直角三角形中用含 的代数式表 示出未知边的长 再根据两个直角三角形边长的数量关系 和差 或相等 列方程求出未知量 例 青岛 分 某区域平面示意图如图 点 在河的一侧 和 表示两条互相垂直的公路 甲勘测员在 处测得点 位于北偏东 乙勘测员在 处测得点 位于南 偏西 测得 请求出点 到 的 距离 参考数据 解析 如图 作 于 于 则四边形 为矩形 设 则 在 中 则 年中考 年模拟 在 中 由题意得 解得 答 点 到 的距离为 变式训练 菏泽 分 年 月 日 菏泽 国际牡丹花会拉开帷幕 菏泽电视台用直升机航拍技术全程直 播 如图 在直升机的镜头下 观测曹州牡丹园 处的俯角为 处的俯角为 如果此时直升机镜头 处的高度 为 米 点 在同一条直线上 则 两点间的距离为多少 米 结果保留根号 解析 依题意 得 在 中 在 中 米 思路分析 在 中 根据 可求得 的 值 在 中 米 与 之差即为 的长