知识结构串联 概率 解释现象 进行 估计 做出决策 游戏对双方公平是指双方获胜的概率相等 抽签是否公平 利用概率可以解释一些现象 如投篮问题 利用概率可以进行估计 如在生物学方面的应用 利用概率可以做出决策 如保险费的收取 中考专题透析 专题 对概率的认识 命题热点趋向 随机现象与事件发生的可能性大小是概率中有关概念的核心 通过对简单随机事件的概率的计算 考查对随机现象的理解和认识水平 同时 通 过利用实验的方法来估计概率 关注正确理解频率与概率之间的关系 解题思路梳理 掌握简单随机事件的概率的计算方法 理解列表或画树状图的 意义 以明确问题的本质 例 四川凉山州 下列说法正确的是 A 随机抛掷一枚均匀的硬币 落地后反面一定朝上 B 从 中随机取一个数 取得奇数的可能性较大 C 某彩票中奖率 说明买 张彩票 有 张中奖 D 打开电视 中央一套正在播放新闻联播 精析 选项A C D都是学习概率时容易产生的误解 比如A与D所提及的 事件都是随机事件 认识到这一点 就能判断A D的说法是错误的 解答 B 点拨 概率描述的是随机事件发生的机会的大小 并不是说一定是什么或不 是什么 例 江苏扬州 下列事件中 是必然事件的是 A 打开电视 它正在播广告 B 掷两枚质地均匀的正方体骰子 点数之和一定大于 C 早晨的太阳从东方升起 D 没有水分 种子发芽 精析 对随机事件和必然事件的概念的认识要深刻 解答 C 例 江苏苏州 如图 一个正六边形转盘被分成 个全等三角形 任 意转动这个转盘 次 当转盘停止时 指针指向阴影区域的概率是 图 A B C D 精析 确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例 根据这个比例即可求出 转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率 转动转盘被均匀分成 部分 阴影部分 占 份 转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是 解答 B 点拨 本题是两类简单事件 古典概型和几何概型 中的几何概型概率计算 几何概型概率的求解实际就是选定面积与总面积之比 但是常常通过对图形的分 割 把它转化为古典概型概率的求解 即选定份数与总份数之比 例 内蒙古乌兰察布 从 这十个数中随机取 出一个数 取出的数是 的倍数的概率是 A B C D 精析 取出一个球是 的倍数的有 种 故P 解答 B 点拨 运用公式P A m n n表示所有可能的结果 m表示事件A所包含的 结果 求事件A发生的概率 例 四川南充 在一个不透明的口袋中装有 张相同的纸牌 它们分 别标有数字 随机地摸出一张纸牌然后放回 再随机摸出一张纸牌 计算两次摸取纸牌上数字之和为 的概率 甲 乙两个人进行游戏 如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数 则甲胜 如 果两次摸出纸牌上数字之和为偶数 则乙胜 这是个公平的游戏吗 请说明理由 精析 通过画树状图法或列表法来列举所有可能的结果 通过计算两 种情况的概率来说明游戏公平与否 解答 树状图法 图 列表法 乙 甲 由上表可以看出 摸一张纸牌后然后放回 再随机摸出纸牌 可能结果有 种 它们出现的可能性相等 两次摸取纸牌的数字之和为 记为事件A 有 个 P A 这个游戏公平 理由如下 两次摸出纸牌上数字之和为奇数 记为事件B 有 个 P B 两次摸出纸牌上数字之和为偶数 记为事件C 有 个 P C 两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同 所以这个游戏公平 点拨 当试验可能出现的结果比较多时 为了不重复不遗漏地列举出所有可 能的结果和事件所包含的其中的结果 通常用画树状图或列表来列举 专题 利用概率解决一些实际问题 如判断游戏规则是否公平 命题热点趋向 现实生活中存在着大量随机现象 初中数学的概率内容与现实 生活紧密相连 因此中考关注考查学生在现实情境中运用概率知识和方法计算简 单随机事件的概率 为决策判断提供依据等这些综合运用能力 解题思路梳理 首先要会求解简单随机事件的概率 会通过列表或画树状图解 决问题 其次要理解概率在解决问题中意义 如对一些现象作出了合理的解释 对 一些游戏活动公正性进行评判 对某项活动是否 合算 进行评判等 例 江苏南京 某厂为新型号电视机上市举办促销活动 顾客每购买一 台该型号电视机 可获得一次抽奖机会 该项厂拟按 设大奖 其余 为小奖 厂家设计的抽奖方案是 在一个不透明的盒子中 放入 个黄球和 个白 球 这些球除颜色外都相同 搅匀后从中任意摸出 个球 摸到黄球的顾客获得大 奖 摸到白球的顾客获得小奖 厂家请教了一位数学老师 他设计的抽奖方案是 在一个不透明的盒子中 放入 个黄球和 个白球 这些球除颜色外都相同 搅匀后从中任意摸出 个球 摸到的 个球都是黄球的顾客获得大奖 其余的顾客获得小奖 该抽奖方案符合厂 家的设奖要求吗 请说明理由 如图 是一个可以自由转动的转盘 请你将转盘分为 个扇形区域 分 别涂上黄 白两种颜色 并设计抽奖方案 使其符合厂家的设奖要求 友情提醒 在转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数 结合转盘简述获奖方式 不需说明理由 图 精析 是否符合要求是指该数学老师设计的方案能否体现 得大奖 得小奖 的厂家意图 因此可将数学老师的方案用排列法或画树状图的方法得到 概率 如用黄 黄 白 白 白 表示这 个球 从中任意摸出 个球 可能出现 的结果有 黄 黄 黄 白 黄 白 黄 白 黄 白 黄 白 黄 白 白 白 白 白 白 白 共有 种 它们出现的可能性 相同 所有的结果中 满足摸到 个球都是黄球 记为事件A 的结果有 种 即 黄 黄 所以P A 即顾客获得大奖的概率为 获得小奖的概率为 数学老师设计的方案符合要求 本题求解方法不唯一 画图时只需将该转盘 圆 平均分为 份 某种颜色占 份 另一种颜色占 分 顾客购买该型号电视机时获 得一次转动转盘的机会 指向 份颜色获得大奖 指向 份颜色获得小奖即可 解答 该抽奖方案符合厂家的设奖要求 分别用黄 黄 白 白 白 表示这 个球 从中任意摸出 个球 可能出现的 结果有 黄 黄 黄 白 黄 白 黄 白 黄 白 黄 白 黄 白 白 白 白 白 白 白 共有 种 它们出现的可能性相同 所有的结果中 满足摸到 个球都是黄球 记为事件A 的结果有 种 即 黄 黄 所以P A 即顾客获得大奖的概率为 获得小奖的概率为 本题答案不唯一 下列解法供参考 如图 将转盘中圆心角为 的扇形区域涂上黄色 其余的区域涂上白色 顾客每购买一台该型号电视机 可获得一次转动转盘的机会 任意转动这个转盘 当转盘停止时 指针指向黄色区域获得大奖 指向白色区域获得小奖 图 点拨 概率与统计是新课程新增知识点 近年来各地中考命题的分值约占总 分的 考查概率知识点通常有三种事件 画树状图 或列表格 求等可能事件 的概率 问题难度不大 注重基础性 体现综合性 概率与统计综合 概率与代数知 识综合 概率与几何图形知识综合等 例 江苏泰州 学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张 其中 一张为指定日门票 另一张为普通日门票 班长提出由王伟和李丽分别转动下图的 甲 乙两个转盘 转盘甲被二等分 转盘乙被三等分 确定指定日门票的归属 在两 个转盘都停止转动后 若指针所指的两个数字之和为偶数 则王伟获得指定日门 票 若指针所指的两个数字之和为奇数 则李丽获得指定日门票 若指针指向分隔 线 则重新转动 你认为这个方法公平吗 请画树状图或列表 并说明理由 图 精析 用利表法或画树状图法计算两人获得指定日门票的概率 再进行判断 解答 根据题意列表 或画树状图 如下 转盘乙 转盘甲 图 由列表 或树状图 可知 P 和为偶数 P 和为奇数 所以这个方法是公平的 点拨 判断事件是否公平 要先求出双方获胜的概率 看游戏的规则使双方 获胜的可能性是否相同 即概率是否相等 这种类型的题目 如果游戏不公平 有时 还要求修改游戏规则使游戏变得公平 修改的方法一是看所有可能的结果中 哪些 结果占一半 例 贵州遵义 有四张卡片 背面完全相同 分别写着数字 把它们背面朝上洗匀后 甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀 乙同 学再从中抽出一张 记下这个数字 用字母b c分别表示甲 乙两同学抽出的数字 用列表法求关于x的方程x b x c 有实数解的概率 求 中方程有两个相等实数解的概率 精析 用列表法很容易求出方程有实数解及有两个相等实数解的概率 解答 无无有有 有无有有 无无有有 有无有有 共有 种可能的结果 其中有实数解的可能性是 种 故P 有实数解 有 个相等实数解的可能性是 种 故P 有两个相等实数解 例 四川乐山 在一个不透明的口袋里装有四个分别标有 的小球 它们的形状 大小完全相同 小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球 记下数字为x 小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球 记下数字 y 计算由x y确定的点 x y 在函数y x 图象上的概率 小明 小红约定做一个游戏 其规则是 若x y满足x y 则小明胜 若x y满足x y 则小红胜 这个游戏规则公平吗 说明理由 若不公平 怎样修改游 戏规则才对双方公平 精析 通过列表法列举出所有可能的结果 便能求出概率 首先计算出 两种情况的概率 再比较是否相等从而得出结论 解答 列表如下 x y P y x 列表如下 x y P x y P x y P x y P x y 这个游戏规则不公平 规则改为 若x y满足x y 则小明胜 若x y满足x y 则小红 胜 P x y P x y P x y P x y 点拨 本题综合运用了多个数学知识来解决问题是对我们的能力提出的挑战 最新三年真题 例 福建厦门 下列事件中 是必然事件的是 A 抛掷 枚硬币 掷得的结果是正面朝上 B 抛掷 枚硬币 掷得的结果是反面朝上 C 抛掷 枚硬币 掷得的结果不是正面朝上就是反面朝上 D 抛掷 枚硬币 掷得的结果是 个正面朝上与 个反面朝上 解答 C 例 辽宁沈阳 气象台预报 本市明天降水概率是 对此消息下 列说法正确的是 A 本市明天将有 的地区降水B 本市明天将有 的时间降水 C 本市明天有可能降水D 本市明天肯定不降水 解答 C 例 浙江宁波 从 这九个自然数中任取一个 是 的倍数的概 率是 A B C D 精析 中是 的倍数的有 这四个 所以任取一个是 的倍数的概 率为 解答 B 例 山东滨州 四张质地 大小 背面完全相同的卡片上 正面分别画 有圆 矩形 等边三角形 等腰梯形四个图案 现把它们的正面向下随机摆放在桌面 上 从中任意抽出一张 则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 A B C D 解答 B 图 例 台湾 一纸箱内有红 黄 蓝 绿四种颜色的纸牌 且如图所示为各颜色 纸牌数量的统计图 若小华自箱内抽出一张 牌 且每张牌被抽出的机会相等 则他抽出红 色牌或黄色牌的机 概 率为 A B C D 解答 B 例 湖南岳阳 校园手机 现象受社会普遍关注 某校针对 学生是 否可带手机 的问题进行了问卷调查 并绘制了扇形统计图 从调查的学生中 随机 抽取一名恰好是持 无所谓 态度的学生的概率是 解答 例 辽宁本溪 在一个不透明的袋中 装有 个红球和若干个绿球 若再往此袋中放入 个白球 袋中所有球除颜色外完全相同 摇匀后摸出一球 摸 到红球的概率恰好为 那么此袋中原有绿球 个 解答 例 四川乐山 一个盒中装着大小 外形一模一样的x颗白色弹珠和 y颗黑色弹珠 从盒中随机取出一颗弹珠 取得白色弹珠的概率是 如果再往盒 中放进 颗同样的白色弹珠 取得白色弹珠的概率是 则原来盒中有白色弹珠 颗 解答 例 山东聊城 一个材质均匀的正方体的六个面上分别标有字母A B C 其展开图如图所示 随机抛掷此正方体 A面朝上的概率是 图 解答 精析 抛掷正方体 面朝上有 种可能的结果 其中A面朝上的可能有 种 所 以A面朝上的概率为 例 辽宁锦州 已知三角形的两条边长分别是 和 第三边长为整 数 则这个三角形的周长是偶数的概率是 解答 例 山东菏泽 从 这 个数中任取一个数 作为关于 x的一元二次方程x x k 的k值 则所得的方程中有两个不相等的实数根 图 的概率是 解答 或填写 例 四川凉山州 如图 有三个