专项二解答题专项 十 二次函数与几何图形综合题 针对陕西中考第24题 中考解读 中考解读 二次函数与几何图形综合题为陕西中考解答题必考题 题位为第24题 分值为10分 涉及求点的坐标 求函数解析式 利用待定系数法 三角形的全等和相似的性质和判定 等腰三角形和直角三角形的性质和判定 特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 的性质和判定 点的存在性 两点之间线段最短 垂线段最短 面积的最值等 这类题目结构新颖 形式美观 动静结合 解法活而不难 但有较强的综合性 要逐步突破 其主要考查类型为 1 二次函数与图形判定 2 二次函数与相似三角形 全等三角形 3 二次函数与图形面积 4 二次函数与图形变换 5 二次函数与最值问题 解答题专项 核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数形结合思想和分类讨论思想 3 常用解题方法 代数法和几何法 类型1二次函数与图形判定 解答题专项 代数模型一 平面直角坐标系中两点距离公式 代数模型二 中点坐标公式 解答题专项 代数模型三 平行四边形四顶点坐标模型 解答题专项 几何模型一 两圆一线法 精确定位 两定一动 型等腰三角形 含等边三角形 存在性问题中的动点坐标 问题情境 如图 已知点A B和直线l 在l上求作点P 使 PAB为等腰三角形 问题探究 如图 分别以点A B为圆心 以线段AB为半径作圆 再作线段AB的中垂线 两圆和AB的中垂线分别与直线l的交点均为符合条件的P点 问题解决 利用 两圆一线 法确定符合条件的动点 然后分别表示出点A B P的坐标 再表示出线段AB AP BP的长度 由三条线段关系 AB AP或AB BP或PA PB 建立等量关系 解决问题 等量关系可利用 1 勾股定理建立 2 方程思想建立 3 成比例线段或相似关系建立 解答题专项 几何模型特例一在平面直角坐标系中 已知点A 3 0 B 0 4 在x轴上找一点P 使 ABP为等腰三角形 求满足条件的所有P点坐标 方法一 代数法 由于动点P在x轴上 设P m 0 由两点距离公式表示AB AP BP 然后列方程可得 举一反三 如果P点在坐标轴上 满足条件的点有几个 方法二 两圆一线 法精确定位 可直接口算出圆与x轴交点坐标 一线 与x轴交点坐标可用勾股定理构建方程求解 如图 由勾股定理可知AB 5 当AB AP1 AP3 5时 易得P1 8 0 P3 2 0 当AB BP4时 P4 3 0 当AP2 BP2时 设在Rt P2OB中 P2 m 0 由勾股定理 得 m 3 2 m2 42 解得m 76 所以P2 解答题专项 几何模型二 一圆两线 法 精确定位 两定一动 型直角三角形存在性问题中的动点坐标 问题情境 如图 已知点A B和直线l 在l上求作点P 使 PAB为直角三角形 问题探究 如图 先以AB为直径作圆与直线l相交 再分别过A B作线段AB的垂线 垂线和圆与直线l的交点即为所求的P点 问题解决 分别表示出点A B P的坐标 再表示出线段AB AP BP的长度 根据图形特殊性分别建立等量关系 等量关系可利用 1 AB2 AP2 BP2或AP2 AB2 BP2或BP2 AB2 AP2 即勾股定理 2 相似 常见一线三等角 3 三角函数 解答题专项 几何模型特例二如图11 在平面直角坐标系中 已知点A 3 0 B 0 4 在坐标轴上找一点C 使 ABC为直角三角形 求满足条件的所有C点坐标 简析 本例可采用 代数法 借助两点距离公式 用勾股定理建立等量模型 分类讨论求解 也可采用 一圆两线 法 方法一 代数法 利用两点距离公式分别表示出AB AC BC 然后利用勾股定理建立等量关系即可解决问题 解答题专项 方法二 一圆两线 法 如图12 精确画图后 利用相似或勾股定理求出符合条件的点的坐标 通解通法 解特殊三角形点的存在性问题有两种方法 1 代数法盲解盲算 代数法一般分三步 罗列三边长 分类列方程 等量关系有勾股定理 相似 三角函数等 求解并检验 2 几何法 即 两圆一线 和 一圆两线 精准定位 分三步 分类 画图 计算 解题过程中 二者有效结合 有力彰显数形结合思想 几何模型三 平行线构造 法 精确确定 三定一动 型或 两定两动 型特殊四边形 包括菱形 矩形 正方形 这里以平行四边形为例 存在性问题 问题情境 如图13 已知平面内不共线的三点A B C或两点A B 求作一点或两点C P 使得A B C P四个点组成平行四边形 问题探究 1 如图14 顺次连接AB BC CA 分别过A B C作对边的平行线 三条平行线交点即为所求点P 解答题专项 2 对于已知两点 求两点C P 题目中的C P两动点位置受某种条件约束 如图15 若以AB为一边 根据题目约束条件 可将AB进行上下左右平移 找到适合条件的两个点的坐标 如图16 若以AB为对角线 找出AB中点 旋转经过中点的直线 寻找适合条件的两个点的坐标 问题解决 1 用四顶点坐标公式解决 三定一动 平行四边形存在性问题的方法 直接利用平行四边形四顶点坐标模型为等量关系列方程求出P点坐标 2 转化成点的平移 平行 的几何模型求出点的坐标 2 用四顶点坐标模型解决 两定两动 平行四边形存在性问题的方法 首先确定已知两个点坐标 设出一个特殊位置的动点坐标 然后确定相对顶点 分三种情况分类讨论 把第四个点的坐标用含有未知数的代数式表示 最后代入相应的函数关系式即可求出待定点的坐标 解答题专项 几何模型特例三如图17 在平面直角坐标系中 已知点A 1 0 B 2 2 C 0 3 在坐标平面内找一点D 使得以A B C D四点组成的四边形为平行四边形 简析 如图18 分别过A B C三点作对边的平行线 三条平行线互相交于点D1 D2 D3 方法一 如图19 以D1点为例 在平行四边形ABD1C中 以AB为一边时 设D1 xD yD 这里点A与点D1 点C与点B为对应顶点 利用四顶点坐标公式 易得D1 解答题专项 点坐标 以D3点为例 AB为对角线 这里点A与点B 点C与点D3为对应顶点 用上述方法易得D3点坐标 方法二 平移法 如图19 以AB为一边时 以D1点为例 首先确定点D1与点C在同一条直线上 且CD1 AB 故A 1 0 平移法 秒杀D1点坐标 本题还可以利用点D1与点B在同一条直线上 且得D1点坐标 以AB为对角线时 以D3点为例 通过构造 BGD3 COA 易得D3点坐标 通解通法 平行四边形的存在性问题 可以利用上述 平行线 构造法和对角线互相平分来精确确定适合条件的点的存在性问题 然后利用全等或平移 平行 相关性质求出相应点的坐标 也可以利用代数模型求解 三定一动 或 两定两动 平行四边形存在性问题代数法求解步骤 1 写出或设出三个 两个 顶点的坐标 2 确定对应顶点 利用对应顶点建立等量关系 直接求出或用含有未知数的代数式表示出第四个点的坐标 3 将设出的点的坐标代入相应的函数关系式 求出待定点的坐标 解答题专项 例1如图 抛物线y 2x2 bx c与x轴交于A 2 0 B 1 0 两点 交y轴于点C 1 求该抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使 BCP为等腰三角形 若存在 求出P点坐标 若不存在 说明理由 解答题专项 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型2二次函数与相似三角形 全等三角形 核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 常用解题思想 数形结合思想 分类讨论思想 方程思想 3 常用解题方法 代数法和几何法 代数模型1 如果给定的两个点的纵坐标相同 如 x1 y x2 y 则可以得到对称轴为直线x 2 一次函数y kx n k 0 的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0 的图像C的交点 由方程组的解的数目来确定 1 方程组有两组不同的解时 l与C有两个交点 2 方程组只有一组解时 l与C只有一个交点 3 方程组无解时 l与C没有交点 解答题专项 几何模型 三角形相似模型 解答题专项 知识必备及方法归纳 1 相似的判定 a 两边对应成比例 夹角相等的两个三角形相似 b 两角对应相等两个三角形相似 c 三边对应成比例的两个三角形相似 d 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 e 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 2 相似 与 一般地 若 ABC与 DEF相似 则不存在对应关系 需分类讨论 若 ABC DEF 则具备对应关系 只有一种情况 不需讨论 通解通法 1 两个定三角形是否相似 1 已知一角相等 等角分显性和隐性 方法为 运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边 若是 相似 对应成比例有两种情况 分类求解 若是 则对应成比例只有一种情形 利用定角定比结论 即确定的角 其三角函数值确定 巧用三角函数求解 2 若无角相等的情形 运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长 看看是否成比例 若成比例 则相似 否则不相似 解答题专项 2 一个定三角形和动三角形相似 1 已知有一个角相等的情形 先借助于相应的函数关系式 把动点坐标表示出来 用字母表示 然后把两个目标三角形 题中要求相似的那两个三角形 中相等的那个已知角作为夹角 分别计算或表示出夹角的两边 让形成相等的夹角的那两边对应成比例 要注意是否有两种情况 列出方程 解此方程即可求出动点的横坐标 进而求出纵坐标 注意去掉不合题意的点 2 未知是否有一角相等的情形 这种情形在相似中属于高端问题 破解方法是 在定三角形中 由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度 用观察法得出某一个角可能是特殊角 再为该角寻找一个直角三角形 用三角函数的方法得出特殊角的度数 在动点坐标用字母表示后 分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等 借助特殊角 为动点寻找一个直角三角形 求出动点坐标 从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题 只需再验证已知角的两边是否成比例 若成比例 则所求动点坐标符合题意 否则这样的点不存在 简称 找特角 求 动 点标 再验证 或称为 一找角 二求标 三验证 解答题专项 例2如图 在平面直角坐标系中 直线y x 2与x轴交于点A 与y轴交于点C 抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 且经过A C两点 与x轴的另一交点为B 1 直接写出点B的坐标 求抛物线的解析式 2 抛物线上是否存在点M 过点M作MN x轴于点N 使得以点A M N为顶点的三角形与 ABC相似 若存在 求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 解答题专项 解答题专项 解答题专项 类型3二次函数与图形面积核心素养及解题思想和方法1 核心素养 数学抽象 数学建模 数学运算 直观想象 2 数学思想方法 数形结合思想和分类讨论思想 3 常用解题方法 宽高模型和平行线构造模型 代数模型 解答题专项 几何模型宽高模型如图 已知 ABC 分别过A B C三点向水平直线l作垂线 垂足分别为D E F AE交BC于点K 设DF a AK h 则S ABC h a 我们把DF叫水平宽 AK叫铅垂高 结论推导 任意三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 平行线构造模型如图 在平面直角坐标系中 抛物线交x轴于A B 点C在x轴下方的抛物线上 在抛物线上找一点P 使S ACP S ACB 平行构图 因为 ACP和 ACB同底 若面积相等 则高线相等 所以过B点在AC上方作直线l1 AC 在AC下方作直线l2 AC 且直线l1 l2到AC距离相等 其他倍比关系同上法 解答题专项 通解通法 设抛物线解析式为y ax2 bx c 直线AC的解析式为y kx m 1 如图 水平宽铅垂高模型 以P2点为例 首先设出待求点P2的坐标为 x ax2 bx c G x kx m S ACP S ACB 同底 则铅垂高相等 P2G kx m ax2 bx c 那么 yc kx m ax2 bx c 列方程求解 2 如图 因为l1 AC 以P