必修一第二章 函数（一）函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）。（2） 由映射的定义的关键字词概括出映射的特征： “A到B”：映射是有方向的，A到B的对应与B到A的对应往往不是同一个对应,如若A到B是求平方，则B到A则是开平方，因此映射是有序的；“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性 映射定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。记作：题型一：已知集合和，建立集合A到集合B的映射共有（ ）个。A1 B2 C3 D4（二）定义域和值域其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。（1） 一次函数y=ax+b (a0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数 (a0)的定义域是R，值域是B；当a0时，值域；当a0时，值域。（3）反比例函数的定义域是，值域是。函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。例1：求下列函数的定义域（用区间表示） f(x)=； f(x)=； 例2已知的定义域为，则的定义域为（ ）A B C D例3求函数的定义域；*复合函数的定义域求法： （1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x)的定义域； （2）已知f(g(x)的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；例2已知f(x)的定义域为0,1，求f(x1)的定义域。例3已知f(x-1)的定义域为-1,0，求f(x+1)的定义域。练习1求下列函数定义域：（1）； （2）2（1）已知函数f(x)的定义域为0，1，求的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为0，1，求f(1-3x)的定义域。例4（1）求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求的定义域。5已知函数的定义域为，求实数a的取值范围（三）值域求函数的值域；（四）函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则。例1下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）； （2）；（3）； （4） 。例2（1）下列四组函数中，表示同一函数的是 。 3下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A B C D （五）区间设a、b是两个实数，且ab，则：满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。符号“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“+”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为。（六）函数的三种表示方法：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系， 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系， 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。（七）分段函数分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。题型1已知f(x)，求f(0)、ff(-1)的值 2.设函数，若则 。 3设，则（ ） A B0 C D（八）单调性和最值单调性与最大（小）值 1.定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。例1判断函数在区间2，6 上的单调性 2.求证f(x)x的(0,1)上是减函数，在1,+上是增函数。 判断f(x)=|x|、y=x的单调性并证明。小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。判断单调性的步骤：设x、x给定区间，且xx； 计算f(x)f(x)至最简判断差的符号下结论。 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值例求函数在区间2，6 上的最大值和最小值例1求函数的最大值 2. 求下列函数的最大值和最小值： （1）； （2） 3.求函数的最小值.（九）奇偶性1.教学奇函数、偶函数的概念：给出两组图象：、；、. 发现各组图象的共同特征 探究函数解析式在函数值方面的特征 定义偶函数：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）.如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数。 定义域关于原点对称二常见题型题型一：判断函数的奇偶性（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR).题型二：函数的奇偶性的应用 已知f(x)是R上的奇函数，且当x(-,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.教学奇偶性与单调性综合的问题：出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+)上是减函数，问f(x)的(-,0)上的单调性。找一例子说明判别结果（特例法） 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 （小结：设转化单调应用奇偶应用结论）变题：已知f(x)是偶函数，且在a,b上是减函数，试判断f(x)在-b,-a上的单调性，并给出证明。巩固练习： 1、判别下列函数的奇偶性： f(x)|x1|+|x1| 、f(x)、f(x)x、 f(x)、f(x)x,x-2,32.设f(x)axbx5，已知f(7)17,求f(7)的值。3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)，求f(x)、g(x)。4.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)f(x)f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)5.已知f(x)是奇函数，且在3,7是增函数且最大值为4，那么f(x)在-7,-3上是（ ）函数，且最（ ）值是（ ）。6.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。 - 5 -