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福建省厦门第一中学2020学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷一、选择题。1.在复平面内,复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简复数,再由复数的几何意义即可得出结果.【详解】因为,所以其对应点为,位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义,熟记运算法则与几何意义即可,属于常考题型.2.抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为,则“”表示试验的结果为( )A. 第一枚为5点,第二枚为1点B. 第一枚为5或6点,第二枚为1点C. 第一枚为6点,第二枚为1点D. 第一枚为1点,第二枚为6点【答案】C【解析】【分析】由题意,“”即是“”,利用随机事件的定义直接求解.【详解】抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为,所以,“” 即“”表示的试验结果为“第一枚为6点,第二枚为1点”.故选C【点睛】本题主要考查随机事件,熟记概念即可,属于常考题型.3.已知曲线的方程为,现给出下列两个命题:是曲线为双曲线的充要条件,: 是曲线为椭圆的充要条件,则下列命题中真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义,分别判定命题p与命题q的真假,进而判断出复合命题的真假。【详解】若曲线C为双曲线,则 ,可解得若,则,所以命题p为真命题若曲线C为椭圆,则且m1,所以命题q为假命题因而为真命题所以选C【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程,充分必要条件的判定,属于基础题。4.二项式的展开式的各项中,二项式系数最大的项为( )A. B. 和C. 和D. 【答案】C【解析】【分析】先由二项式,确定其展开式各项的二项式系数为,进而可确定其最大值.【详解】因为二项式展开式的各项的二项式系数为,易知当或时,最大,即二项展开式中,二项式系数最大的为第三项和第四项.故第三项为;第四项为.故选C【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项,熟记二项式定理即可,属于常考题型.5.已知函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对函数求导,用导数方法判断函数的单调性,再结合题意,列出不等式组,即可求出结果.【详解】因为(),所以,由得,所以,当时,即单调递增;当时,即单调递减;又函数在区间上不是单调函数,所以有,解得.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数在给定区间的单调性求参数的问题,通常需要对函数求导,用导数方法研究函数单调性即可,属于常考题型.6.正方体中,为中点,则直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以坐标原点,分别以为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,表示出与,求两向量夹角余弦值,即可得出结果.【详解】如图,以为坐标原点,分别以为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则,则,记直线与所成角为,则.故选D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角,熟记空间向量的方法求解即可,属于常考题型.7.五名学生排成一队,要求其中甲、乙两名学生相邻,且都不站在排头,则不同排法的种数为( )A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】D【解析】【分析】分甲或乙站排尾、甲乙都不站排尾两种情况分别求出排法,再求和,即可得出结果.【详解】因为甲、乙两名学生相邻,且都不站在排头,若甲或乙站排尾,则有种排法;若甲乙都不站排尾,则有种排法;故,不同的排法共有种.故选D【点睛】本题主要考查两个计数原理,熟记概念,以及排列组合中的常见类型,即可求解,属于常考题型.8.函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】先由函数图像,确定函数奇偶性,排除D,再由特殊值法排除A,B,即可得出结果.【详解】由图像可得,该函数关于原点对称,为奇函数,D选项中,所以,不是奇函数,所以D排除;又由函数图像可得,所以可排除A,B;故选C【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数解析式的问题,熟记函数的性质,以及特殊值法的应用即可,属于常考题型.9.已知区域,区域,在内随机投掷一点,则点落在区域内的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出区域对应的面积,和区域对应的面积,再由几何概型,即可得出结果.【详解】由题意, 对应区域为正方形区域,其面积为;对应区域如下图阴影部分所示:其面积为,所以点落在区域内的概率是.故选B【点睛】本题主要考查与面积有关几何概型,熟记概率计算公式、以及微积分基本定理即可,属于常考题型.10.已知椭圆:的左、右焦点分别为,.也是抛物线:的焦点,点为与的一个交点,且直线的倾斜角为,则的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:由题意可得:c=直线AF1的方程为:y=x+c联立,解得A(c,2c),代入椭圆方程可得:,即,化为:e2+=1,解出即可得出详解:由题意可得:c=直线AF1的方程为y=x+c联立,解得x=c,y=2cA(c,2c),代入椭圆方程可得:,化为:e2+=1,化为:e46e2+1=0,解得e2=3,解得e=1故答案为:B点睛:(1)本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法,考查了学生的推理能力与计算能力.(2)求离心率常用的方法是找关于离心率的方程再解方程,本题就是利用点A(c,2c)在椭圆上找到关于离心率的方程的.11.已知三个月球探测器,共发回三张月球照片,每个探测器仅发回一张照片.甲说:照片是发回的;乙说:发回的照片不是就是;丙说:照片不是发回的,若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确,则发回照片的探测器是( )A. B. C. D. 以上都有可能【答案】A【解析】【分析】结合题中条件,分别讨论甲对、乙对或丙对的情况,即可得出结果.【详解】如果甲对,则发回的照片是,故丙也对,不符合条件,故甲错误;如果乙对,则丙错误,故照片是发回的.得到照片是由发回,照片是由发回.符合逻辑,故照片是由发回;如果丙对,则照片是由发出,甲错误,可以推出发出照片,发出照片,故照片是由发出.故选A【点睛】本题主要考查推理分析,根据合情推理的思想,进行分析即可,属于常考题型.12.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,若函数,.的“新驻点”分别为,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据“新驻点”的概念,得到,构造函数,根据零点存在性定理,确定范围;由确定范围,即可得出结果.【详解】,由题意得:,令,易知在定义域内单调递增,又,所以在内存在零点,又,所以;,.综上,.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用,结合题中原函数与导函数之间的关系,结合零点存在定理等,求出参数的值或范围,比较大小即可,属于常考题型.二、填空题。13.已知复数满足,则_【答案】【解析】【分析】先由复数的除法,化简复数,再由复数模的计算公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,因此.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算,以及求复数的模,熟记除法运算法则以及模的计算公式即可,属于常考题型.14.设,则_.【答案】5【解析】分析:先求出值,再赋值,即可求得所求式子的值.详解:由题易知:令,可得5故答案为:5点睛:本题考查了二项式定理的有关知识,关键是根据目标的结构合理赋值,属于中档题.15.已知直线:与函数的图象恰有1个公共点,则正数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先作出函数的图像,求出直线:与函数相切时,切线斜率,结合图像,即可得出结果.【详解】作图分析,当直线:与函数相切时,不妨设切点为,于是可得切线方程为,代入点,解得,因此,由图像可得,当时,直线:与函数的图象恰有1个公共点.故答案为【点睛】本题主要考查由直线与曲线交点的个数求参数的问题,熟记导数的几何意义,即可求解,属于常考题型.16.已知函数,若存在实数使成立,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】先由题意得到,令,用导数的方法求出函数的最小值,再由配方法求出的最小值,结合题中条件,即可得出结果.【详解】函数,所以令,则,令解得且当时,单调递减;且当时,单调递增,所以,又因为所以,因此只有与同时取最小值时,才能成立;所以,当时,也取最小值,此时,即.【点睛】本题主要考查根据导数的应用,根据函数最值求参数的问题,熟记导数的方法研究函数的单调性、最值等即可,属于常考题型.三、解答题(解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)17.某支教队有8名老师,现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动,(1)若规定选出的至少有一名女老师,则共有18种不同的需安排方案,试求该支教队男、女老师的人数;(2)在(1)的条件下,记为选出的2位老师中女老师的人数,写出的分布列.【答案】(1)男老师5人,女老师3人(2)见解析【解析】【分析】(1)先设男老师总共有人,则女老师共有人,根据题意得到,求解即可得出结果;(2)先由题意确定的可能取值,求出对应概率,即可得出分布列.【详解】(1)不妨设男老师总共有人,则女老师共有人,(,)从这8位老师中选出至少1名女老师,共有种不同的方法,即有:,解得,所以该支教队共有男老师5人,女老师3人(2)的可能取值为0,1,2,表示选派2位男老师,这时,表示选派1位男老师与1位女老师,这时,表示选派2位女老师,这时,的分布列为:012【点睛】本题主要考查由组合数求参数的问题、以及离散型随机变量的分布列,熟记定义,结合题中条件,即可求解,属于常考题型.18.设曲线在点处的切线与轴、轴所围成的三角形面积为.(1)求切线的方程;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先对函数求导,求出曲线在点的斜率,进而可求出切线方程;(2)由(1)的结果,分别令和,求出切线与轴、轴的交点坐标,进而可表示出,再用导数的方法研究的单调性,求出最值即可.【详解】(1)令,因为,所以切线的斜率为故切线的方程为,即(2)由,令得,又令得,所以从而.当时,当时,所以在上单调递增;在上单调递减;所以的最大值为.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程、以及导数的应用,熟记导数的几何意义、会用导数的方法求函数的最值即可,属于常考题型.19.如图,在四棱锥中,点为的中点(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析;(2)【解析】
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