相似多边形的性质 你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关系及其理由吗 如图 ABC DEF B E 又 AMB DNE 900 AMB DNE 两角对应相等的两个三角形相似 相似三角形对应高的比等于相似比 理由是 相似三角形对应边成比例 即 相似三角形对应高的比等于相似比 回顾与拓展 你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系及其理由吗 如图 ABC DEF B E BAC EDF 又 AM DN分别是 BAC和 EDF的角平分线 BAM EDN AMB DNE 两角对应相等的两个三角形相似 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 理由是 相似三角形对应边成比例 即 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 你还记得相似三角形对应中线的比与相似比的关系及其理由吗 如图 ABC DEF B E 相似三角形对应中线的比等于相似比 理由是 相似三角形对应边成比例 又 AM DN分别是 ABC和 DEF的中线 AMB DNE 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 且 B E 即 相似三角形对应中线的比等于相似比 你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系及其理由吗 如图 在 ABC与 A B C 中 ABC A B C 且相似比为k 相似三角形周长的比等于相似比 理由是 相似三角形对应边成比例 对应边的比叫做相似比 即 相似三角形周长的比等于相似比 你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其理由吗 如图 六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1 且相似比是k 相似多边形周长的比等于相似比 理由是 即 相似多边形周长的比等于相似比 三个角对应相等 三条边对应成比例的两个三角形 叫做相似三角形 similartrianglec 相似三角形的各对应角相等 各对应边对应成比例 相似三角形对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比 对应周长的比等于相似比 相似比等于1的两个三角形全等 注意 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 反之 写在对应位置上的字母就是对应角的顶点 由于相似三角形与其位置无关 因此 能否弄清对应是正确解答的前提和关键 判定两个三角形相似的方法 两角对应相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截其它两边 或其延长线 所截得的三角形与原三角形相似 益智的 模型 两个极具代表性的相似三角形基本模型 A 型和 X 型 若 ADE ABC 则 DAE BAC ADE ABC AED ACB 若 ABC ADE 则 BAC DAE B D C E 结论1 平行于三角形一边直线截其它两边 或其延长线 所截得的三角形与原三角形相似 如图 已知 ABC DE BC 交AB AC或其延长线于D E 则有如下结论 如图 在 ABC中 如果DE BC 那么 ADE ABC 结论2 平行于三角形一边直线截其它两边 或其延长线 所得的对应线段成比例 如图 在 ABC中 如果DE BC 如图 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似 根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段 即 有三对相似三角形 ACD ABC CBD ABC ACD CBD 常用的成比例的线段有 如 常用的相等的角有 A DCB B ACD 让数学模型 双垂直 三角形 成为你的好友 老师的建议 上面红色字表示出的关系式 是几个重要的结论 若能理解记忆并运用 将会促进能力的提高 例题 如图所示 在等腰 ABC中 底边BC 60cm 高AD 40cm 四边形PQRS是正方形 1 ASR与 ABC相似吗 为什么 2 求正方形PQRSR的边长 解 1 ASR ABC 理由是 2 由 1 可知 ASR ABC 四边形PQRS是正方形 RS BC ASR B ARS C ASR ABC 设正方形PQRS的边长为xcm 则AE 40 x cm 解得 x 24 所以正方形PQRS的边长为24cm 相似三角形对应高的比等于相似比 亲历知识的发生和发展 问题 如果 ABC A B C 它们面积的比与相似比有什么关系 如图 ABC A B C 相似比是k 如3 4 1 ABC与 A B C 的面积如何表示 2 ABC与 A B C 的面积的比是多少 解 分别作高CD C D 则 如果两个相似三角形的相似比是k 通过上面的活动 你得出了什么结论 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图 如果 ABC A B C 且 这个结论在今后的学习中作用很大 若能理解运用 则受益非浅 如图 四边形A1B1C1D1 四边形A2B2C2D2 且相似比为k 1 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2周长的比是多少 2 连接相应的对角线A1C1 A2C2所得的 A1B1C1与 A2B2C2相似吗 A1C1D1与 A2C2D2呢 如果相似 它们的相似比各是多少 3 设 A1B1C1 A1C1D1 A2B2C2 A2C2D2 的面积分别是S A1B1C1 S A1C1D1 S A2B2C2 S A2C2D2 那么 4 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2 面积的比是多少 如果把四边形换成五边形 那么结论又如何 换成n边形呢 通过上面的活动 你得出了什么结论 相似多边形周长的比等于 对应对角线的比等于 对应三角形相似 且相似比等于 对应三角形面积的比等于 相似多边形面积的比等于 相似比 相似比 相似多边形的相似比 相似比的平方 相似比的平方 下图是某市城区外环路示意图 比例尺为1 100000 1 设法求出图上外环路的长度 并由此求出外环路的实际长度 2 估计外环路所围成的区域的面积 你是怎么做的 与同伴交流 点拨 1 用一根线绳沿图中的外环路重叠放置 此时线绳的长度就是外环路的图上距离 2 把图上的外环路近似地看作一个矩形 某市城市广场 是一个因周边环境设计建造的一个不规则多边形 具有和谐的自然美 设计图的比例尺是1 10000 图上多边形与实际多边形相似吗 如果相似 它们的相似比是多少 图上多边形与实际多边形的周长比是多少 面积呢 练一练 归纳提炼 相似多边形的性质 相似三角形对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比 对应周长的比都等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似多边形对应对角线的比等于相似比 相似多边形对应三角形相似 且相似比等于相似多边形的相似比 相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方 相似多边形面积的比等于相似比的平方