学海无涯 1 对于函数f x 1 a 2 x3 bx2 a 2 x 3 1 若f x 在x 1和x 3处取得极值 且f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2sintcost 23cos2t 3试求实数t的取值范围 2 若f x 为实数集R上的单调函数 设点P的坐标为 a b 试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S 1 1 由f x 1 a 2 x3 bx2 a 2 x 则 3f x a 2 x2 2bx a 2 因为f x 在x 1和x 3处取得极值 所以x 1和x 3是f x 0的两个根 a 2 12 2b 1 a 2 0 a 1 a 2 32 2b 3 a 2 0 b 2 f x x2 4x 3 因为f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2sintcost 2 3cos2t 3 所以f x 2sintcost 2 3cos2t 3对x R恒成立 而f x x 2 2 1 其最大值为1 故2sintcost 23cos2t 3 1 3412 7 2sin2t 1 k t k k Z 2 当a 2时 由f x 在R上单调 知b 0当a 2时 由f x 在R上单调 f x 0恒成立 或者f x 0恒成立 f x a 2 x2 2bx a 2 4b2 4 a2 4 0可得a2 b2 4从而知满足条件的点P a b 在直角坐标平面aob上形成的轨迹所围成的图形的面积为S 4 2 函数f x ax3 bx2 cx a 0 的图象关于原点对称 A f B f 学海无涯分别为函数f x 的极大值点和极小值点 且 AB 2 f f 求b的值 求函数f x 的解析式 若x 2 1 f x m 6恒成立 求实数m的取值范围 m2 b 0f x ax3 cx f x 3ax2 c 0的两实根是 3a 0 则 c c3 3a2 AB 2 2 f f 2 4 2 2 4 2 c a f f a 3 c a 3 c a 2 2 c 1 a 2 3 c 1 a c c 1 c ac 1 3a 3a2 1 2 x a22又a 0 a 1f x3 3x x 2 1 时 求f x 的最小值是 5 mm 6 m 6 m 1 5 m 0 m 6或0 m 13 已知f x ax3 bx2 cx d是定义在R上的函数 其图象交x轴于A B C三点 若点B的坐标为 2 0 且f x 在 1 0 和 4 5 上有相同的单调性 在 0 2 和 4 学海无涯5 上有相反的单调性 1 求c的值 2 在函数f x 的图象上是否存在一点M x0 y0 使得f x 在点M的切线斜率为3b 若存在 求出点M的坐标 若不存在 说明理由 3 f x 在 1 0 和 0 2 上有相反单调性 x 0是f x 的一个极值点 故f x 0 即3ax2 2bx c 0有一个解为x 0 c 0 f x 交x轴于点B 2 0 8a 4b d 0 即d 4 b 2a 3a 12 2 令f x 0 则3ax 2bx 0 x 0 x 2b 3aa f x 在 0 2 和 4 5 上有相反的单调性 2 2b 4 6 b 3 假设存在点M x0 y0 使得f x 在点M的切线斜率为3b 则f x0 3b即3ax2 2bx 3b 000 a 4ab b 9 2b 2 4 3a 3b 4b2 36ab 又 6 b 3 0 a 不存在点M x0 y0 使得f x 在点M的切线斜率为 4 已知函数f x lnx 1 求函数g x f x 1 x的最大值 a2 b2 2a b a 2 当0 a b时 求证f b f a 1 x 1 4 1 f x lnx g x f x 1 x g x ln x 1 x x 1 g x 1令g x 0 得x 0 当 1 x 0时 g x 0当x 0时g x 0 又g 0 0 当且仅当x 0时 g x 取得最大值0 ba a b 2 f b f a lnb lna ln ln ln 1 b ba bb a af b f a 由 1 知ln 1 x x b 22 12a ba2 b2 b a2b b a b ba2 b2 又 0 a b a b 2ab 学海无涯 a2 b2 2a b a f b f a 1 5 已知f x 是定义在 1 0 0 1 上的奇函数 当x 1 0 时 f x 2ax x2 a为实数 1 当x 0 1 时 求f x 的解析式 2 若a 1 试判断f x 在 0 1 上的单调性 并证明你的结论 3 是否存在a 使得当x 0 1 时 f x 有最大值 6 1 1 2111 5 1 设x 0 1 则 x 1 0 f x 2ax f x 是奇函数 则x2f x 2ax x 0 1 x2 2 f x 2a 2 a 因为a 1 x 0 1 1 a 0 x3x3x3x3即f x 0 所以f x 在 0 1 上是单调递增的 5 3 当a 1时 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 a a 2 不 3 11 3 含题意 舍去 当a 1 则f x 0 x 如下表f x max f a a 2 2 6 a 22 x 01 所以存在a 22使f x 在 0 1 上有最大值 6 学海无涯 4 6 已知f x kx3 x2 x 5在R上单调递增 记 ABC的三内角A B C的对应边分别为a b c 若a2 c2 b2 ac时 不等式f m sin2B cos A C f 2m 33 恒成 立 求实数k的取值范围 求角cosB的取值范围 求实数m的取值范围 19 1 由f x kx3 x2 x 5知f x 3kx2 2x 1 f x 在R上单调递增 3 f x 0恒成立 3k 0且 0 即k 0且4 12k 0 k 1 3 当 0 即k 1时 f x 3kx2 2x 1 x 1 2 3 x 1时f x 0 x 1时 f x 0 即当k 1时 能使f x 在R上单调递增 1 k 3 a2 c2 b2ac1 2 a2 c2 b2 ac 由余弦定理 cosB 2ac2ac23 0 B 5 4 分 3 f x 在R上单调递增 且f m sin2B cos A C f 2m 33 所以 m sin2B cos A C 2m 33 4442 4 sin2B cos A C 33 sin2B cosB 33 cos2B cosB 29 cosB 1 2 7 8 10分 故m 2m 8 即 m 1 2 9 3 m 1 3 即0 m 4 即0 m 167 已知函数f x ax3 3 a 2 x2 6x 32 I 当a 2时 求函数f x 的极小值 学海无涯 II 试讨论曲线y f x 与x轴的公共点的个数 7 I f x 3ax2 3 a 2 x 6 3a x 2 x 1 a aaa a 2 2 1 当x 2或x 1时 f x 0 当2 x 1时 f x 0 2 2 aa f x 在 1 内单调递增 在 1 内单调递减 a 故f x 的极小值为f 1 2 II 若a 0 则f x 3 x 1 2 f x 的图象与x轴只有一个交点 6分 aaa 若a 0 则2 1 当x 2或x 1时 f x 0 当2 x 1时 f x 0 2 a f x 的极大值为f 1 0 a f x 的极小值为f 2 0 f x 的图象与x轴有三个公共点 2 若0 a 2 则 1 a 当x 1或x 2时 f x 0 当2 x 1时 f x 0aa f x 的图象与x轴只有一个交点 若a 2 则f x 6 x 1 2 0 f x 的图象与x轴只有一个交点 当a 2 由 I 知f x 的极大值为f 2 4 1 3 2 3 0aa44综上所述 若a 0 f x 的图象与x轴只有一个公共点 1 2 2 11 若a 0 f x 的图象与x轴有三个公共点 第二组 解析几何1 已知点C 3 0 点P在y轴上 点Q在x轴的正半轴上 点M在直线PQ上 且满足CP PM 0 PM MQ2当点P在y轴上运动时 求点M的轨迹C的方程 是否存在一个点H 使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O 若存在 求出这个点的坐标 若不存在说明理由 6 1 设M x y P 0 t Q s 0 则CP 3 t PQ s t 由CP PQ 0得3s t2 0 又由PM MQ得 x y t s x y 学海无涯 2 1 2 y t y x 1 s x t 2y 3 s 3x 把 代入 得9x 3y 2 0 即y2 4x 又x 0 2 点M的轨迹方程为 y2 4x x 0 2 如图示 假设存在点H 满足题意 则OA OB即OA OB 0 44 y2y2 设A 1 y1 B 2 y2 则由OA OB 0可得 16 y2y2 12 y1y2 0解得y1y2 16 12 y2y2 AB y y 2 1 y2 y14 又k 4 y2 y1 y24 44则直线AB的方程为 y y1 x 1 即 y y y y2 yy 4x y2把yy 16代入 化简得12112112 4x 16 y1 y y 0 令y 0代入得x 4 动直线AB过定点 4 0 答 存在点H 4 0 满足题意 2 设x y R i j为直角坐标平面内x y轴正方向上的单位向量 若向量 a xi y 2 j b xi y 2 j 且a b 8 1 求点M x y 的轨迹C的方程 2 过点 0 3 作直线l与曲线C的交于A B两点 设OP OA OB 是否存在这样的 直线l 使得四边形OAPB为矩形 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 2 1 a x y 2 b x y 2 且a 8b 即点M x y 到两个定点F1 0 2 F2 0 2 的距离之和为8 1612 2 y 2 x 1 点M x y 的轨迹C为以F1 0 2 F2 0 2 为焦点的椭圆 其方程为 2 由题意可设直线l方程为y kx 3 A x1 y1 B x2 y2 1 1612 由 y2 x2 y kx 3 2 消去y得 4 3k x 18kx 21 0 此时 18k 2 4 4 3k2 21 0恒成立 且 12 4 3k2 xx 4 3k221 18k x x 12由OP OA OB知 四边形OAPB为平行四边形 假设存在直线l 使得四边形OAPB为矩形 则OA OB 即OA 0B 0 学海无涯因为OA x1 y2 OB x2 y2 所以x1x2 y1y2 0 而yy kx 3 kx 3 k2xx 3k x x 9 12121212 2118k 故 1 k2 4 3k24 3k2184 3k 9 0 即k2 5 得k 5 5 所以 存在直线l y x 3 使得四边形OAPB为矩形 43 一束光线从点F1 1 0 出发 经直线l 2x y 3 0上一点P反射后 恰好穿过点F2 1 0 求点F1关于直线l的对称点F1 的坐标 求以F1 F2为焦点且过点P的椭圆C的方程 设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A B两点 点Q为线段AB上的动点 求点Q到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值 并求取得最小值时点Q的坐标 1 12 设F 的坐标为 m n 则 n m 1222 1且2 m 1 n 3 0 1 5555 解得m 9 n 2 因此 点F 的坐标为 9 2 PF1 PF1 根据椭圆定义 1212 55 得2a PF PF F F 9 1 2 2 0 2 22 2 a 2 b 2 1 1 x2 所求椭圆方程为 y 1 2 a2 2 椭圆的准线方程为x 2 c设点Q的坐标为 t 2t 3 2 t 2 d1表示点Q到F2的距离 d2表示点Q到椭圆的右准线的距离 则d1 t 1 2t 3 5t 10t 10 d t 2 2222 2 5 1 d d5t2 10t 10t2 2t 2 t 2 2 t 2 t 2 2t2 2t 2 令f t 2 t 2 则 t 2 3 6t 8 t 2 4 2t 2 t 2 2 t2 2t 2 2 t 2 f t 33 3 当 2 t 4 f t 0 4 t 2 f