成都实验外国语学校2015 届高三 10 月月考 文科数学试题 总分 150 分 时间 120 分钟 第 I 卷 选择题 共50 分 一 选择题 本大题共10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给 出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 2 Mx yx 集合 N 2 y yxxM 则MNI A 2 B 4 C 0 D 0 4 2 若 12 1ai ibi 其中 a b R i 是虚数单位 则 abi A 1 2 iB 5C 5 2 D 5 4 3 1m 是 直线ymxm与直线2ymx平行 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 ABC中 若 0CACBACCB uu u ruuu ruuu ruu u r 则 ABC为 A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法 确定 5 下列命题中是假命题 的是 A lg lglgabRabab B R函数 sin 2 f xx是偶函数 C R使得cos coscos D 2 43 1 mm mRf xmx使是幂函数 且在 0 上递减 6 一个棱长为2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三 侧视图正视图 视图如右上图所示 则该几何体的体积为 A 7 B 22 3 C 47 6 D 23 3 7 已知 f x 0 1 1 1 0 1 2 xx xx 则下列四图中所作函数的图像错误 的是 8 如右图所示 输出的n为 A 10 B 11 C 12 D 13 9 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的半焦距为 c c 0 左焦点为 F 右顶点为 A 抛物线 2 15 8 yac x与椭圆交于 B C 两点 若四边形 ABFC 是菱形 则椭圆的离心率是 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 5 6 10 定义域为ba 的函数 xfy图象上两点 yxMbfbBafaA是 xfy图象上任意一点 其中 1 0 1 bax o 为坐标原点已知向量 OBOAON 1 若不等式kMN对任意1 0恒成立 则称函数 xf在ba 上 k 阶线性近似 若函数 x xy 1 在 1 3 上 k 阶线性近似 则实数 k 的取值范围为 A 0B 12 1 C 42 3 33 轹 D 42 3 33 轹 第 II 卷 非选择题 共100分 二 填空题 本大题有5 小题 每小 题 5 分 共 25 分 把答案填在答题卷 的相应位置 11 为了解高 2012 级学生的身体发 育情况 抽查了该年级 100 名年龄为 17 5 岁 18 岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如右图 根据右图可得这100 名学生中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 12 设 ABC的三个内角 A B C所对的三边分别为a b c 若 ABC 的面积为 22 Sabc 则 sin 1cos A A 13 若 21 01 1 f xx xx 则 fx的最小值为 14 二次函数 2 2yxaxb的一个零点大于 0 且小于 1 另一零点大于 1 且小于 2 则 1 2 a b 的取值范围是 15 已知函数 0 23 adcxbxaxxf的对称中心为M 00 xfx 记函数 xf的导函数为 xf xf的导函数为 xf 则有 0 0 xf 若函数 32 3fxxx 则可求得 12 20122012 ff 4022 2012 f 4023 2012 f 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或验算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 2 3sin 2 4 x m u r 2 cos cos 44 xx n r 函数 f xm n u r r I 若 1 2 f x 求cos 3 x的值 II 在ABCV中 角 ABC 的对边分别是abc 且满足 2 coscosacBbC 求 f A的取值范围 17 本小题满分 12 分 已知函数 1 x f x x 数列 n a满足 11 1 nn aaf a 1 求证 数列 1 n a 是等差数列 2 设 1nnn ba a 记数列 n b的前n项和为ns 求证 1 1 2 n s 18 本小题满分 12分 已知关于 x 的二次函数 2 41f xaxbx I 设集合 P 1 2 3 和 Q 1 1 2 3 4 分别从集合 P和 Q中随 机取一个数作为 a和 b 求函数 yf x在区间 1 上是增函数的概率 II 设点 a b 是区域 80 0 0 xy x y 内的一点 求函数 yf x在区间 1 上是增函数的概率 19 本小题满分 12 分 如图 1 在平面四边形ACPE中 D为AC中点 2ADDCPD 1AE 且 AEAC PDAC 现沿PD折起使 0 90ADC 得到立体图 形 如图 2 又 B为平面 ADC 内一点 并且 ABCD 为正方形 设 F G H分别为 PB EB PC的中点 1 求三棱锥PGHF的体积 2 在线段 PC上是否存在一点 M 使直线FM与直线PA所成角为 0 60 若存在 求出线段PM的长 若不存在 请说明理由 20 本小题满分 13 分 动点 M x y 与定点 F 1 0 的距离和它到直线l x 4 的距离之比是 常数 1 2 O 为坐标原点 求动点 M 的轨迹 E 的方程 并说明轨迹E 是什么图形 已知圆 C 的圆心在原点 半径长为2 是否存在圆 C 的切 线 m 使得 m 与圆 C 相切于点 P 与轨迹 E 交于 A B 两点 且 使等式 2 AP PBOP uuu ruu u ruuu r 成立 若存在 求出m 的方程 若不存在 请 说明理由 21 本小题满分 14 分 已知函数 f x xlnx x 0 求 f x 的单调区间 若函数g x 2f x blnx x 在 1 x 上存在零点 求实 数 b 的取值范围 任取两个不等的正数x1 x2 且 x10 使 21 0 21 f xf x fx xx 成立 求证 x0 x1 成都实外高 2012级 10 月月考文科数学 参考答案 一 请将选择题答案填在下表中 10X5 50 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 答 案 B C A B A D D D A C 二 填空题 共计25 分 5 分 小题 11 40 12 4 13 32 214 4 1 1 15 8046 三 解答题 本大题共6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤 16 12 分 解 1 1 11 1 2 111 1 1 1 111 1 1 1 11 11 211 1 1 111 1 1 111111 1 11 22311 s nn nn nnnn nn n n n nnn n n aa af a aaaa aaa a nna an ba a n nnn s nnn Q 17 1 分 解 即又首项为 数列是以 为首项 为公差的等差数列 由 得 又易知为递增 11 11 1 22 1 1 2 n n ssb s 数列 18 本小题满分 12 分 2 由 1 知当且仅当 2b a 且 a 0 时 函数 f x ax 2 4bx 1 在区间 1 上为增函数 8 分 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 80 0 0 ab a ba b 构成 所求事件的区域为三角形部分 由 80 2 ab a b 得交点坐标为 16 8 33 19 本小题满分 12 分 解 1 因为 F G分别为 PB BE的中点 所以 FGPE 又FG平面 PED PE平面PED 所以 FG平面PED 同理 FH平面PED 平面 HFG平面PDAE且 115 1 222 HFADGFPE HF与GF的夹角等于AD与PE的夹角 设为 易求 5 sin 5 平面 HFG平面PDAE P到平面GHF的距离即H到平面PDAE的 距离 过H作PD的垂线 垂足为M 则1HM为P到平面GHF的距 离 11551 11 322512 P GFH V 2 因为EA平面ABCD EAPD 所以PD平面ABCD 所以 PDAD PDCD 又因为四边形ABCD是正方形 所以ADCD 如图 建立空间直角坐标系 因为22ADPDEA 所以 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 2 2 0 2 0 1 DPACBE 20 本小题满分 13 分 解 由题意得 22 1 1 42 xy x 化简得 22 1 43 xy 即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆 设 A x1 x2 B x2 y2 OA OB uuu r uuu r OPPA uuu ruuu r OPPB uuu ruuu r 2 OP uuu r OP PB uuu r uuu r PA OP uu u r uuu r PA PB uu u r uuu r 由题知 OP AB 故OP PB uuu r uu u r 0 PA OP uu u r uuu r 0 OA OB uuu r uuu r 2 OP uuu r PA PB uu u r uuu r 2 OP uuu r AP PB uuu r uuu r 0 假设满足条件的直线m 存在 当直线 m 的斜率不存在时 则m 的方程为 x 2 代入椭圆 22 1 43 xy 得 y 6 2 OA OB uuu r uuu r x1x2 y1y2 2 6 4 0 这与OA OB uuu r uuu r 0 矛盾 故此时 m 不 存在 当直线 m 的斜率存在时 设直线m 的方程为 y kx b OP 2 2 1 b k 即 b2 2k2 2 联立 22 1 43 xy 与 y kx b 得 3 4k2 x 2 8kbx 4b2 12 0 x1 x2 2 34 8kb k x1x2 2 2 412 34k b y1y2 kx1 b kx2 b k 2x1x2 kb x 1 x2 b 2 2 22 312 34 bk k OA OB uuu r uuu r x1x2 y1y2 2 2 412 34k b 2 22 312 34 bk k 0 7b2 12k2 12 0 又 b2 2k 2 2 2k2 2 0 该方程无解 即此时直线m 也不存在 综上所述 不存在直线m 满足条件 21 本小题满分 14 分 解 ln1fxx 由ln10 x 即 1 x e 时 0fx 所以 f x在区间 1 e 上单调递 增 由ln10 x 即 1 0 x e 时 0fx 所以 f x在区间 1 0 e 上单调递 减 函数 f x的单调递增区间为 1 e 单调递减区间为 1 0 e 函数 g x 2f x blnx x 在 1 x 上存在零点 方程2 lnln0 xxbxx在 1 x 上有实数解 易知 x 1 不是方程的实数解 方程2 lnln0 xxbxx在 1 x 上有实数解 即方程2 ln x bx x 在 1 x 上有实数解 设 2 ln x xx x 1 x 2 222 ln12 ln ln1 2ln1 ln1 2 ln ln ln xxxxx x xxx 1x ln0 x ln10 x 当2ln10 x 即xe时 0 x 当2ln10 x 即1xe时 0 x x在 1 e 上单调递减 在 e 上单调递增 min 4xee 实数 b 的取值范围为 4 e 存在 x0 0 使 21 0 21 f xf x fx xx 成立 2211 0 21 lnln ln1 xxxx x xx 成立 要证明 x0 x1成立 只需证明 01 ln1ln1xx成立 只需证明 2211 1 21 lnln ln1 xxxx x xx 成立 只需证明 22121 lnln xxxxx成立 只需证明 21 12 ln1 xx xx 成立 设 2 1 x t x x1x1成立