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有理数的乘除【学习目标】1会根据有理数的乘法法则进行乘法运算,并运用相关运算律进行简算;2. 理解乘法与除法的逆运算关系,会进行有理数除法运算;3. 巩固倒数的概念,能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算;4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘,都得0要点诠释: (1) 不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘 (2)当因数中有负号时,必须用括号括起来,如-2与-3的乘积,应列为(-2)(-3),不应该写成-2-32. 有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0 要点诠释:(1)在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数 (2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘 (3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0反之,如果积为0,那么至少有一个因数为03. 有理数的乘法运算律:(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:abba(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等即:abc(ab)ca(bc)(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加即:a(b+c)ab+ac要点诠释:(1)在交换因数的位置时,要连同符号一起交换(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘如abcdd(ac)b一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加如a(b+c+d)ab+ac+ad(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”要点二、有理数的除法1.倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数 要点诠释:(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是,-2和是互相依存的; (2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数; (3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数; (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)2. 有理数除法法则:法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即. 法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数,都得0. 要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些 (2)因为0没有倒数,所以0不能当除数 (3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1计算:(1); (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20); (3)(-5)(-8.1)3.140【答案与解析】几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分几个数相乘,有一个因数为零,积就为零 (1); (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20); (3)(-5)(-8.1)3.1400【总结升华】几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关当因数中有一个数为0时,积为0但注意第一个负因数可以不用括号,但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算:(1) ;(2)【答案与解析】根据题目特点,(1)可以先用乘法交换律把与4相乘,再运用乘法结合律将与相乘(2)计算的值可运用分配律,计算的值则可逆用分配律解:(1) 原式;(2)【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点适当运用“凑整法”进行交换和结合举一反三:【变式】用简便方法计算: (1); (2)【答案】(1)原式(2)(-3.14)35.2+(-3.14)223.3+(-3.14)18.2-3.14(35.2+46.6+18.2)-3.14100-314类型二、有理数的除法运算3计算: 【思路点拨】对于乘除混合运算,首先由负数的个数确定结果的符号,同时应将小数化成分数,带分数化成假分数,算式化成连乘积的形式,再进行约分但要注意除法没有分配律【答案与解析】解: 【总结升华】进行乘除混合运算时,往往先将除法转化为乘法,再确定积的符号,最后求出结果举一反三:【高清课堂:有理数乘除381226 有理数除法例1(3)】【变式】计算:【答案】原式类型三、有理数的乘除混合运算4.计算:【答案与解析】在有理数的乘除运算中,应按从左到右的运算顺序进行运算.【总结升华】在有理数的乘除运算中,可先将除法运算转化为乘法运算乘除运算是同一级运算,再应按从左到右的顺序进行 举一反三:【变式】计算:【答案】 类型四、有理数的加减乘除混合运算5. 计算:【答案与解析】方法1:方法2:所以 【总结升华】除法没有分配律,在进行有理数的除法运算时,若除数是和的形式,一般先算括号内的,然后再进行除法运算,也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决,如果按a(b+c) ab+ac进行分配就错了 举一反三:【变式】(1) ;(2)【答案】(1)原式=(2)原式类型五、含绝对值的化简 6. 已知a、b、c为不等于零的有理数,你能求出的值吗?【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值,再代入求值【答案与解析】解:分四种情况: (1)当a、b、c三个数都为正数时,;(2)当a、b、c三个数中有两个为正数,一个为负数时,不妨设a为负数,b、c为正数,;(3)当a、b、c三个数中有一个为正数,两个为负数时,不妨设a为正数,b、c为负数,;(4)当a、b、c三个数都为负数时,综上,的值为:【总结升华】在含有绝对值的式子中,当不知道绝对值里面的数的正负时,需分类讨论.举一反三:【高清课堂:有理数乘除 381226 有理数除法例2】【变式】计算的取值.【答案】(1)当a0、b0时,; (2)当a0、b0时,; (3)当a0,b0时,; (4)当a0,b0时,综上,的值为:5
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