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海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学 2019.11本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,. 若,则实数的值可以为(A)(B)(C)(D)(2)下列函数中,在区间上不是单调函数的是(A)(B)(C)(D)(3)已知等差数列的前项和为. 若,且,则(A)(B) (C)(D)(4)不等式成立的一个充分不必要条件是(A)(B)(C)(D)(5)如图,角以为始边,它的终边与单位圆O相交于点,且点的横坐标为,则的值为(A) (B)(C) (D)(6)在四边形中, ,. 若,则(A)(B) (C) (D)(7)已知函数. 若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)(8)设集合是集合的子集,对于,定义 给出下列三个结论:存在的两个不同子集,使得任意都满足且;任取的两个不同子集,对任意都有;任取的两个不同子集,对任意都有.其中所有正确结论的序号是(A)(B) (C)(D)第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。(9)已知向量,且,则_.(10)函数的零点个数为 . (11)已知数列的前项和,则_,_.(12)如图,网格纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点作为向量的始点和终点,则的最大值为 .(13)已知数列的通项公式为. 若存在,使得对任意的都成立,则的取值范围为_.(14)已知函数,其中,是这两个函数图象的交点,且不共线.当时,面积的最小值为 ;若存在是等腰直角三角形,则的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)(本小题满分13分)已知数列为各项均为正数的等比数列,为其前n项和,.()求数列的通项公式;()若,求n的最大值.(16)(本小题满分13分)已知函数.()求函数的最小正周期;()若对恒成立,求实数的取值范围.(17)(本小题满分13分)已知函数. 曲线在点处的切线方程为.()求,的值;()若函数存在极大值,求的取值范围.(18)(本小题满分13分)在中,()求的值;()若点为射线上的一个动点(与点不重合),设. 求的取值范围; 直接写出一个k的值,满足:存在两个不同位置的点P,使得.(19)(本小题满分14分)已知函数.()判断函数在区间上的单调性,并说明理由;()求证:.(20)(本小题满分14分)已知集合,且中的元素个数大于等于. 若集合中存在四个不同的元素,使得,则称集合是“关联的”,并称集合是集合的“关联子集”;若集合不存在“关联子集”,则称集合是“独立的”.()分别判断集合与是“关联的”还是“独立的”?若是“关联的”,写出其所有的“关联子集”;()已知集合是“关联的”,且任取集合,总存在 的“关联子集”,使得. 若,求证:是等差数列;()若集合是“独立的”,求证:存在,使得.海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 2019.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案DDCABBAA二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.题号91011121314答案610;13;说明:第11,14题第一空3分,第二空2分三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15解:()在等比数列中,设公比为q.因为,所以 所以. 即 则或 因为所以所以. 因为所以 所以数列的通项公式 . ()在等比数列中,因为, 所以 因为,所以 所以. 所以 因为,所以. 即n的最大值为4. 16.解:()因为 . 所以的最小正周期为. ()“对恒成立”等价于 “”. 因为,所以. 当,即时,的最大值为. 所以,所以实数的取值范围为. 17解:(), 因为在点处的切线方程为,所以 解得 (), 当时,不存在极大值,不符合题意. 当时,.令. (i)当,即时,不符合题意. (ii)当,即时,方程有两个不相等的实数根.设方程两个根为,且. ,的变化如表所示:00极大值极小值所以为极大值. 当时,恒成立. 设方程两个根为,且. ,的变化如表所示:00极小值极大值所以为极大值. 综上,若函数存在极大值,的取值范围为. 18解:()在中,根据余弦定理 所以. 因为, 所以 . ()在中,根据正弦定理,得. . 因为点为射线上一动点,所以. 所以的取值范围为. 答案不唯一.取值在区间上均正确. 19()函数在区间上是单调递增函数. 理由如下:由,得. 因为所以. 因此.又因为, 所以恒成立. 所以在区间上是单调递增函数.()由题意可得,. 因为令 则. 所以在上单调递减. 因为,所以存在唯一实数,使得,其中. 0极大值,的变化如表所示:所以为函数的极大值.因为函数在有唯一的极大值.所以. 因为, 所以. 因为,所以. 所以. 20.解:()是“关联的”,关联子集有,是“独立的”. ()记集合的含有四个元素的集合分别为:,.所以,至多有5个“关联子集”.若为“关联子集”,则不是“关联子集”,否则;同理可得若为“关联子集”,则,不是“关联子集”.所以集合没有同时含有元素的“关联子集”,与已知矛盾.所以一定不是“关联子集”.同理一定不是“关联子集”. 所以集合的“关联子集”至多为,.若不是“关联子集”,则此时集合一定不含有元素的“关联子集”,与已知矛盾; 若不是“关联子集”,则此时集合一定不含有元素的“关联子集”,与已知矛盾; 若不是“关联子集”,则此时集合一定不含有元素的“关联子集”,与已知矛盾.所以,都是“关联子集”. 所以有,即;,即;,即,所以.所以是等差数列. ()不妨设集合(),,,且.记.因为集合是“独立的”的,所以容易知道中恰好有个元素.假设结论错误,即不存在,使得.所以任取,.因为,所以.所以.所以任取,.任取,,所以,且中含有个元素.(i)若,则必有成立.因为,所以一定有成立.所以.所以.所以.所以.因为,所以,所以有,矛盾.(ii)若,则.而中含有个元素,所以.所以,.因为,所以.因为,所以.所以.所以,矛盾.所以命题成立. 高三年级(数学)第13页(共4页)
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