2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题1已知函数，则的值为A1B2C3D3【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可.【详解】由函数解析式可得：，本题正确选项：【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题.2已知集合，则为( )ABCD【答案】D【解析】集合是数集，集合是对数不等式解的集合，集合是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：，；.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按和 进行分类讨论分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.3下列函数的周期不为的是( )AB CD【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项运用二倍角公式化简再求周期，对化简降次求周期，对化简得直接求周期.【详解】函数的最小正周期为，满足条件；函数的最小正周期为，满足条件；函数最小正周期为，满足条件；函数的最小正周期为，不满足条件，故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数的最小正周期分别为；(2)和的最小正周期为，的最小正周期为图象法 利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4已知，则向量在方向上的投影为( )ABCD【答案】C【解析】先计算出，再求出，代入向量在方向上的投影可得【详解】，则向量在方向上的投影为，故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若的夹角为，向量在方向上的投影为或5下列关系正确的是( )ABCD【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号.【详解】是第一象限，是第二象限，且，是第二象限，故选：C.【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可(2)若已知角的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值(3)若角终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值此时注意不要漏解或多解认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误6若非零向量满足，则（）ABCD【答案】C【解析】【详解】由已知，即.符号不能确定，A、B均不对.故选C.7在中，则（ ）ABC或D【答案】D【解析】根据的范围和同角三角函数关系求得，由大边对大角关系可知为锐角，从而得到；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果.【详解】， 为锐角，又 本题正确选项：【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8向量，满足，当实数时，向量和的夹角范围是( )ABCD【答案】B【解析】利用求出 ，几何法作出 ,得，当时，,当时 即【详解】由，得，的夹角为，不妨设，不妨设，则点C在OB的延长线上运动，向量和的夹角可用表示，由图知：，故选：B.【点睛】应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算9已知函数对任意都满足，则函数的最大值为A5B3CD【答案】C【解析】函数对任意都满足函数的对称轴为，且函数函数最大值为故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数满足或，则函数图象关于直线对称；研究函数的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成的形式.10定义在R上的奇函数满足，当时，且时，有，则函数在上的零点个数为( )A9B8C7D6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数在上的解析式，再利用.得到的图象，的零点个数，等价于求的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当时，是奇函数，当时，有，若，则，则，即，即当时，当时，此时，当时，此时，由，得：当时，由，即是的一个零点，当时，由得，即，作出函数与在，上的图象如图：由图象知两个函数在上共有7个交点，加上一个，故函数在上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数f(x)的零点个数就是函数和的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11函数的图象可由函数的图象至少向左平移_个单位长度得到.【答案】【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论【详解】函数， ，故把函数的图象至少向左平移个单位，可得的图象，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量，如果的系数不是1，则需把的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12函数的单调递减区间为_.【答案】【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解.【详解】函数，求得，或，故函数的定义域为或，本题即求在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得在定义域内的增区间为，故答案为：.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数即“同增异减”13已知，与是关于x的一元二次方程的两根，则的值为_.【答案】【解析】由已知结合根与系数的关系求得，进一步求得，联立求得，的值，得到及的值，则问题可解【详解】与是关于x的一元二次方程的两根，两边平方得：，则.联立，解得，.则.故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的14已知，则的范围是_.【答案】【解析】设，对，两边平方，可得，再利用向基本不等式的性质即可得出【详解】设，.，则，的范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方：，（2）基本不等式及其有关变形： 当且仅当时取等号.15在中，AD为BC上的中线，则_，_.【答案】 【解析】由已知在中，利用正弦定理可得，进而可求的值，在中，由余弦定理解得，可求，由余弦定理可得的值.【详解】，在中，由正弦定理可得：.在中，由余弦定理，可得：，即：，解得：，或（舍去），由余弦定理可得：，故答案为：，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用.平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果16已知函数的定义域为R，对任意，有，且，则不等式的解集为_.【答案】【解析】由条件移项变形得，则在R上为增函数，再把问题不等式转化为函数不等式，利用单调性求解.【详解】根据题意，设，若函数满足对任意，有，则，则函数在R上为增函数，又由，则，则有，解可得：且，即不等式的解集为；故答案为：.【点睛】不等式的解法：利用函数性质得到 函数的单调性利用利用单调性去掉“ ” 原不等式化为或从而得解.17在中，H为内一点，则_.【答案】【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，即；又，作于E，则H的纵坐标；又，作于F，则；设，则，即求得，点H的横坐标，.故答案为： 【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解三、解答题18已知，为锐角，且，.（1）求；（2）求.【答案】(1)(2)【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得， ，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得，再根据两角和余弦公式得，最后根据范围求结果.详解： 由于为锐角，（2），由于为锐角，点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好19已知，