高二数学高二数学独立事件概率独立事件概率人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 独立事件概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 二 重点 1 互斥事件只有一个发生的概率 如果事件 A1 A2 An彼此互斥 那么事件 A1 A2 An发生 即 A1 A2 An中有一个发生 的概率 等于这 n 个事件分别发生的概率的和 即 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 2 相互独立事件同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积 我们把两个事件 A B 同时发生记作 A B 则有 P A B P A P B 推广 如果事件 A1 A2 An相互独立 那么这 n 个事件同时发生的概率 等于 每个事件发生的概率的积 即 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 典型例题典型例题 例 1 盒中有 6 只灯泡 其中 2 只次品 4 只正品 有放回地从中任取两次 每次取一只 试求下列事件的概率 1 取到的 2 只都是次品 2 取到的 2 只中正品 次品各一只 3 取到的 2 只中至少有一只正品 解 解 从 6 只灯泡中有放回地任取两只 共有 62 36 种不同取法 1 取到的 2 只都是次品情况为 22 4 种 因而所求概率为 9 1 36 4 2 由于取到的 2 只中正品 次品各一只有两种可能 第一次取到正品 第二次取到次 品 及第一次取到次品 第二次取到正品 因而所求概率为 P 9 4 36 42 36 24 3 由于 取到的两只中至少有一只正品 是事件 取到的两只都是次品 的对立事件 因 而所求概率为 P 1 9 8 9 1 例 2 从男女学生共有 36 名的班级中 任意选出 2 名委员 任何人都有同样的当选机会 如果选得同性委员的概率等于 求男女生相差几名 2 1 解 解 设男生有x名 则女生有 36 x名 选得 2 名委员都是男性的概率为 3536 1 C C 2 36 2 xx x 选得 2 名委员都是女性的概率为 3536 35 36 C C 2 36 2 36 xx x 以上两种选法是互斥的 又选得同性委员的概率等于 得 2 1 2 1 3536 35 36 3536 1 xxxx 解得x 15 或x 21 即男生有 15 名 女生有 36 15 21 名 或男生有 21 名 女生有 36 21 15 名 总之 男女生相差 6 名 例 3 某种零件经过三道工序加工才是成品 第一道工序的合格率是 95 第二道工序的 合格率是 98 第三道工序的合格率是 99 假定这三道工序互不影响 那么成品的合格率 是多少 结果精确到 0 01 解 解 记第一道工序合格为事件 A 第二道工序合格为事件 B 第三道工序合格为事件 C 则 P A 95 P B 98 P C 99 且事件 A B C 相互独立 因此 P A B C P A P B P C 92 答 成品的合格率为 92 例 4 某人参加一次考试 若五道题中解对四题为及格 已知他解题的正确率为 3 5 试求 他能及格的概率 结果保留四个有效数字 解 解 做对第一道题记为事件 A1 做对第二道题记为事件 A2 做对第三道题记为事件 A3 做对第四道题记为事件 A4 做对第五道题记为事件 A5 这五个事件是相互独立的 且 P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 3 5 记做对四道题为事件 C 则 P C P P P P 5432 1 AAAAA 5431 2 AAAAA 5412 3 AAAAA P P 5132 4 AAAAA 1432 5 AAAAA 54321 AAAAA 0 3370 33 70 54 5 3 5 2 5 3 5 答 他及格的概率是 33 70 例 5 设有两门高射炮 每一门击中飞机的概率都是 0 6 试求 同时射击一发炮弹而命中飞机的概率 若又一架敌机侵犯 要以 99 的概率击中它 问需多少门高炮 解 解 1 P 0 6 0 6 0 6 0 4 0 6 0 4 0 84 2 不妨设至少需要 x 门高炮才能完成任务 则 1 0 99 即 0 01 所以 x 5 所以 x 6 x 4 0 x 4 0 例 6 甲 乙 2 人各进行一次射击 如果 2 人击中目标的概率都是 0 6 且相互之间没有 影响 计算 1 2 人都击中目标的概率 2 2 人都没有击中目标的概率 解 解 1 P 0 60 6 0 36 2 P 1 0 6 1 0 6 0 16 疑难解析疑难解析 1 事件的互斥与相互独立是两个不同的概念 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时 发生 两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 2 求复杂事件的概率一般思路 正向思考和反向思考 正向思考的一般步骤 通过分类 或分步将复杂事件进行分解 转化为简单的互斥事件 模拟试题模拟试题 1 若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件 B表示废品不少于两件的事件 试问 对立事件 各表示什么 AB 2 一个射手进行一次射击 试判断下面四个事件A B C D中有哪些是互斥事件 事件A 命中的环数大于 8 事件B 命中的环数大于 5 事件C 命中的环数小于 4 事件D 命中的环数小于 6 3 某市派出甲 乙两支球队参加全省足球冠军赛 甲乙两队夺取冠军的概率分别是和 7 3 试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率 4 1 4 如果事件A B互斥 那么 A A B是必然事件 B 是必然事件 AB C 与一定互斥 D 与一定不互斥ABAB 5 下列说法中正确的是 A 事件A B中至少有一个发生的概率一定比A B中恰有一个发生的概率大 B 事件A B同时发生的概率一定比事件A B恰有一个发生的概率小 C 互斥事件一定是对立事件 对立事件不一定是互斥事件 D 互斥事件不一定是对立事件 对立事件一定是互斥事件 6 回答下列问题 1 甲 乙两射手同时射击一目标 甲的命中率为 0 65 乙的命中率为 0 60 那么能 否得出结论 目标被命中的概率等于 0 65 0 60 1 25 为什么 2 一射手命中靶的内圈的概率是 0 25 命中靶的其余部分的概率是 0 50 那么能否得 出结论 目标被命中的概率等于 0 25 0 50 0 75 为什么 3 两人各掷一枚硬币 同时出现正面 的概率可以算得为 由于 不出现正面 2 2 1 是上述事件的对立事件 所以它的概率等于 1 这样做对吗 说明道理 2 2 1 4 3 7 战士甲射击一次 问 1 若事件A 中靶 的概率为 0 95 的概率为多少 A 2 若事件B 中靶环数大于等于 6 的概率为 0 7 那么事件C 中靶环数小于 6 的概率为 多少 事件D 中靶环数大于 0 且小于 6 的概率是多少 8 某产品分甲 乙 丙三级 其中乙 丙两级均属次品 在正常生产情况下出现乙级品和 丙级品的概率分别为 3 和 1 求抽验一只是正品 甲级 的概率 9 在放有 5 个红球 4 个黑球 3 个白球的袋中 任意取出 3 个球 分别求出 3 个全是同 色球的概率及全是异色球的概率 10 某单位 36 人的血型类别是 A型 12 人 B型 10 人 AB型 8 人 O型 6 人 现从这 36 人中任选 2 人 求此 2 人血型不同的概率 11 在一只袋子中装有 7 个红玻璃球 3 个绿玻璃球 从中无放回地任意抽取两次 每次 只取一个 试求 1 取得两个红球的概率 2 取得两个绿球的概率 3 取得两个同颜色的球的概率 4 至少取得一个红球的概率 12 在房间里有 4 个人 问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少 13 一个通讯小组有两套相同的通讯设备 每套设备都由 A B C 三个部件组成 只要其 中有一个部件出故障 这套设备就不能正常工作 即不以进行通讯 假定三个部件不出故 障的概率分别是 P A 0 95 P B 0 90 P C 0 99 求 1 打开一套设备能进行通讯的概率 2 同时打开两套设备能进行通讯的概率 试题答案试题答案 1 表示四件产品中没有废品的事件 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的AB 事件 2 事件A与C 事件A与D 事件B与C分别为互斥事件 3 4 B 5 D 28 19 6 解 1 不能 因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥 2 能 因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件 3 不对 因为 不出现正面 与 同时出现正面 不是对立事件 故其概率和不为 1 7 1 0 05 2 P C 0 3 P D 0 25 8 0 96 9 全是同色球的概率为 全是异色球的概率为 44 3 11 3 10 11 1 2 3 4 45 34 15 7 15 1 15 8 15 14 12 13 1 0 84645 2 0 9764 96 41