八年级数学 上 几何证明练习题 1 已知 在 ABC中 A 90度 AB AC 在BC上任取一点P 作PQ AB交AC于Q 作PR CA交BA于R D是BC的中点 求证 RDQ是等腰直角三角形 2 已知 在 ABC中 A 900 AB AC D是AC的中点 AE BD AE延长线交BC于F 求证 ADB FDC 4 已知 如图 1 在 ABC中 BP CP分别平分 ABC和 ACB DE过点P交AB于D 交AC于E 且DE BC 求证 DE DB EC 5 在Rt ABC中 AB AC BAC 90 O为BC的中点 1 写出点O到 ABC的三个顶点A B C的距离的大小关系 不要求证明 2 如果点M N分别在线段AB AC上移动 在移动中保持AN BM 请判断 OMN的形状 并证明你的结论 6 如图 ABC为等边三角形 延长BC到D 延长BA到E AE BD 连结EC ED 求证 CE DE 7 如图 等腰三角形ABC中 AB AC A 90 BD平分 ABC DE BC且BC 10 求 DCE的周长 几何证明习题答案1 连接AD 由 ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC 且AD BD DAQ DBR 45度 又由平行关系得 四边形RPQA为矩形 所以AQ RP BRP也是等腰直角三角行 即BR PR 所以AQ BR由边角边 BRD全等于 AQD 所以 BDR ADQ DR DQ RDQ RDA ADQ RDA BDR 90度 所以 RDQ是等腰RT 2 作AG平分 BAC交BD于G BAC 90 CAG BAG 45 BAC 90 AC AB C ABC 45 C BAG AE BD ABE BAE 90 CAF BAE 90 CAF ABE AC AB ACF BAG CF AG C DAG 45 CD AD CDF ADG CDF ADB3 易证 ABM NAC NAM NAE BAM NAE ANE 90 4 BPCD分别平分角 ABC和 ACB DBP PBC ECP PCB DE BC DPB PBC EPC PCB DP DPEP EC DE DP DE DB EP EC DE DB EC5 1 因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心 所以O到 ABC的三个顶点A B C距离相等 2 OMN是等腰直角三角形 证明 连接OA 如图 AC AB BAC 90 OA OB OA平分 BAC B 45 NAO 45 NAO B 在 NAO和 MBO中 AN BM NAO B AO BO NAO MBO ON OM AON BOM AC AB O是BC的中点 AO BC 即 BOM AOM 90 AON AOM 90 即 NOM 90 OMN是等腰直角三角形 6 延长CD到F 使DF BC 连结EF AE BD AE CF ABC为正三角形 BE BF B 60 EBF为 等边三角形 角F 60 EF EB在 EBC和 EFD中EB EF 已证 B F 已证 BC DF 已作 EBC EFD SAS EC ED7 DE BC DEB 90 BD平分 ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 A DEBBD BD ABD DBE 直角三角形ABD全等直角三角形DBE BE ABAD DE AB AC BE CE AC CE DCE CE DE CD CE AD CD CE CA BE CE 10 例1 6分题 如图 已知 B C 90 M是BC的中点 DM平分 ADC 1 若连接AM 则AM是否平分 BAD 请你证明你的结论 2 DM与AM有怎样的位置关系 请说明理由 3 求证 AD AB CD 练2 6分题 如图 AB CD DE平分 ADC AE平分 BAD 求证 AD AB CD 例3 6分题 如图 已知 B C 90 M是BC的中点 DM平分 ADC 求证 AD AB CD 练4 6分题 如图 已知在 ABC中 AB CD BDA BAD AE为 ABD的BD边上的中线 求证 AC 2AE 练2 6分题 如图 已知AB CD AD与BC相交于F BE平分 ABC E为AD的中点 问 AB BC和CD三条线段之间有什么数量关系 并给出证明 如有需要可直接运用下面的定理 在一个三角形中 如果有两个角相等 那么它们所对的边也相等 简写成 等角对等边 例3 9分题 如图 已知在有公共顶点的 OAB和 OCD中 OA OB OC OD 且 AOB COD 1 求证 CA BD 2 若将 OCD绕点O沿着逆时针方向旋转 当旋转到A C D在同一条直线上时 问 1 中的结论是否仍然成立 如果结论成立 请证明 如果不成立 请说明理由 练4 9分压轴题 如图 OP是 MON的平分线 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考这个做全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC中 ACB是直角 B 60 AD CE分别是 BAC BCA的平分线 AD CE相交于点F 请你写出FE与FD之间的数量关系 2 如图 在 ABC中 如果 ACB不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 你还能得出什么结论 请给出证明 练5 9分题 已知 如图 在 ABC中 AD平分 BAC DE AB与E DF AC与F 1 求证 AD EF 2 如图 当有一动点G在AD所在的直线上运动 其余条件不变 那么 这时EF AD的结论是否仍然成立 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 练6 9分压轴题 如图 一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起 现正方形ABCD保持不动 将三角尺GEF绕斜边EF的中点 点O也是BD的中点 顺时针方向旋转 1 如图 当EF与AB相交于点O GF与BD相交于点N时 通过观察或测量BM FN的长度 猜想BM FN满足的数量关系 并证明你的猜想 2 将三角尺GEF旋转到如图 所示的位置时 线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M 线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N 此时 1 中的猜想还成立吗 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 例7 6分题 如图 要在燃气管道l上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 1 泵站C修建在什么地方 可使所用的燃气管线最短 不写做法 保留作图痕迹 2 请你在 1 的基础上 过A点作AD l 并连接DB 求证 AD DB AC CB 练8 6分题 如图 已知牧马营地M处 每天牧马人要赶马群先到河边饮水 再到草地上吃草 最后回到营地 试着设计出最短的牧马路线 不写做法 保留作图痕迹 练9 6分题 如图 E F为 ABC的边AB AC上的两个定点 在BC上求作一点D 使 DEF的周长最短 例10 6分题 如图 已知在 ABC中 DE垂直平分BC 若 ABC的周长为10 BC 4 求 ACE的周长 练11 6分题 如图 在 ABC中 DE垂直平分AC AC 5 ABD的周长为13 求 ABC的周长 练12 6分题 如图 等腰三角形ABC的周长为21 底边BC 5 DE垂直平分AB 求 BEC的周长 例13 6分题 如图 已知 ABC 请你用尺规作图画出 ABC关于直线l的对称图形 练14 6分题 如图 已知 ABC 请你用尺规作图画出 ABC关于直线l的对称图形 例15 7分题 已知 ABC和 ECD均为等边三角形 且B C D三点在同一条直线上 求证 1 BE AD 2 FG BD 练16 7分题 已知 ABC和 ECD均为等边三角形 求证 AD BE 练17 7分题 如图 已知 ABC和 ECD均为等边三角形 求证 BE AD 练18 7分题 如图 已知四边形ABCD和ECFG均为正方形 求证 1 DF BE 2 DF BE 练19 7分题 如图 已知 ADC和 BDE均为等腰直角三角形 求证 1 BC AE 2 BC AE 练20 7分题 已知 ABC和 EDC均为等腰直角三角形 求证 1 AE BD 2 AE BD 学法指津 角平分线加平行线构建等腰三角形 学习本课内容 要综合运用 等腰三角形三线合一 等边对等角 等角对等边 及 等边三角形三条边相等 三个内角相等且三个内角都是60 等定理 才能做出复杂图形题目 学法指津 全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致 解答复杂图形 要把复杂图形分解成基本图形进行解答 就会觉得非常简单了 图形越复杂 条件越多 做起来越简单 因为不用做辅助线 图形越简单 条件越少 做起来越难 往往要通过画辅助线来创造条件解决 解决复杂图形题目时 一般把已知条件在图中描出来或标出来 这样有利于整理条件 小结 证明两条线段相等或角相等 如果这两条线段或角在两个三角形内 就证明这两个三角形全等 如果这两条线段或角在同一个三角形内 就证明这个三角形是等腰三角形 如果看图时两条线段既不在同一个三角形内 也不在两个全等三角形内 那么就利用辅助线进行等量代换