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冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃专题18等差数列和等比数列一、选择题1(等比数列的性质)已知正项等比数列的前项和为,且,则公比的值为()AB或CD【答案】C【解析】因为,所以,故,因为正项等比数列,故,所以,故选C.2.(等差数列的性质)在数列中,已知,则该数列前2019项的和( )A2019B2020C4038D4040【答案】A【解析】为等差数列3(等比数列与基本不等式)各项均为正数的等比数列的前项和,若,则的最小值为( )A4B6C8D12【答案】C【解析】因为,且等比数列各项均为正数,所以 公比首项 所以 ,通项 所以 当且仅当所以当时,的最小值为8故选C4(传统文化与等比数列)算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为( )A岁B岁C岁D岁【答案】C【解析】设这位公公的第个儿子的年龄为,由题可知是等差数列,设公差为,则,又由,即,解得,即这位公公的长儿的年龄为岁故选C5(等差数列前n项和的性质)在等差数列中,其前项和为,若,则()A2018B2018C4036D4036【答案】C【解析】设等差数列的前项和为,则,所以是等差数列因为,所以的公差为,又,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以,所以.故选C.6(含绝对值的数列问题)已知等差数列满足,则前12项之和为( )AB80C144D304【答案】D【解析】因为,所以.所以所以前12项之和为.7(函数与数列)已知函数,数列满足,若要使数列成等差数列,则的取值集合为( )ABCD【答案】B【解析】因为,所以若数列成等差数列,则当为直线与直线交点横坐标时,即.此时数列以为首项,为公差的等差数列;当,即或即或,数列以为公差的等差数列,因此的取值集合为.二、填空题8(双曲线与数列)已知一族双曲线(,且),设直线与在第一象限内的交点为,点在的两条渐近线上的射影分别为,.记的面积为,则_.【答案】【解析】设,双曲线的渐近线为,互相垂直.点在两条渐近线上的射影为,则易知为直角三角形,即为等差数列,其前2019项的和为三、解答题9(分段函数和错位相减法求和)已知等比数列的前项和为,公比.数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)证明数列为等差数列;(3)设数列的通项公式为:,其前项和为,求.【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】(1)等比数列的前项和为,公比.,可得,解得.,即,解得.(2)证明:,综上,是首项为,公差是1的等差数列.,.(3)令,.10(数列与不等式恒成立)在数列中,设, ()求证数列是等差数列,并求通项公式;()设,且数列的前项和,若,求使恒成立的的取值范围.【答案】()证明见解析;()【解析】证法一:解:()由条件知,所以,所以,又,所以,数列是首项为1,公差为1的等差数列,故数列的通项公式为:.证法二:由条件,得 又,所以,数列是首项为1,公差为1的等差数列,故数列的通项公式为:.()由()知,则,由-得,恒成立,等价于对任意恒成立.,. 7 / 7
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