3.3 利用导数研究函数的极值、最值核心考点精准研析考点一用导数解决函数的极值问题命题精解读1.考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.2.怎么考:与函数图像、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.3.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图像等知识交汇考查为主学霸好方法1.求函数f(x)极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域;(2)求导数f (x);(3)解方程f (x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f (x)在f (x)=0的根x0左右两侧值的符号.2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.由图像判断函数的极值【典例】(2020咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则f(0)f(1)=.【解析】f(x)=3ax2+2bx+c;根据图像知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;根据根与系数的关系得,-2b3a=-1+2,c3a=-2,所以2b=-3a,c=-6a,所以f(0)f(1)=c3a+2b+c=-6a3a-3a-6a=1.答案:1由函数f(x)的图像确定极值点的主要依据是什么?提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+aex(aR,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴,求a的值.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由f(x)=x-1+aex,得f (x)=1-aex.又曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴, 所以f (1)=0,即1-ae=0,解得a=e.(2)f (x)=1-aex, 当a0时,f (x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f (x)=0,得ex=a,即x=ln a, 当x(-,ln a)时, f (x)0, 所以f(x)在(-,ln a)上单调递减, 在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.已知函数极值情况求参数值(范围)【典例】设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由f(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+).所以g(x)=1x-2a=1-2axx.当a0,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当a0,x0,12a时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x12a,+时,g(x)0时,g(x)的单调增区间为0,12a,单调减区间为12a,+.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)在(0,+)内单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知f(x)在0,12a内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减,在1,12a内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=12时,12a=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a12时,012a0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递减.所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知,实数a的取值范围为12,+.1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x3,此时f(x)0;当-2x1时,01-x3,此时f(x)0;当1x2时,-11-x0,此时f(x)2时,1-x0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.设函数f(x)=ln x+ax2-32x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为.【解析】函数f(x)=ln x+ax2-32x,函数定义域为(0,+),f(x)=1x+2ax-32.若x=1是函数f(x)的极大值点,则f(1)=0,解得a=14;所以f(x)=ln x+14x2-32x,f(x)=1x+12x-32=x2-3x+22x=(x-1)(x-2)2x;当f(x)0时,0x2;函数在(0,1)和(2,+)上单调递增;当f(x)0时,1x2,函数在(1,2)上单调递减;所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2.答案:ln 2-23.(2019荆门模拟)已知函数f(x)=x2+2x-2xex.求函数f(x)的极值.【解析】因为函数f(x)=x2+2x-2xex(xR),所以f(x)=2x+2-2ex-2xex=(2x+2)(1-ex),由f(x)=0,得x=-1或x=0,列表讨论,得: x(-,-1)-1 (-1,0) 0(0,+) f(x)-0+ 0- f(x) 极小值 极大值所以当x=-1时,f(x)极小值=f(-1)=1-2+21e=2e-1,当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0x2 016),则函数f(x)的各极大值之和为()A.e(1-e2 017)1-e2B.e(1-e1 009)1-eC.e(1-e1 008)1-e2D.e(1-e2 016)1-e2【解析】选D.因为函数f(x)=ex(sin x-cos x),所以f(x)=ex(sin x-cos x)=ex(sin x-cos x)+ex(cos x+sin x)=2exsin x;令f(x)=0,解得x=k(kZ);所以当2kx0,原函数单调递增,当2k+x2k+2时,f(x)1,求f(x)在区间1b,b上的最大值和最小值. 【解题导思】序号题目拆解(1)利用导数的几何意义求参数利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值(2)研究函数f(x)的单调性利用对x分类讨论的方法,结合b的取值范围,用求导的方法判断函数的单调性求函数f(x)的最值从而求出函数的极值,进而求出函数的最值【解析】(1)f(x)的导函数为f(x)=1-lnx-ax2x2f(1)=1-0-a1=1-a,依题意,有f(1)-(-1)1-2=1-a,即-a+11-2=1-a,解得a=1.(2)由(1)得f(x)=1-lnx-x2x2,当0x0,-ln x0,所以f(x)0,故f(x)在(0,1)上单调递增;当x1时,1-x20,-ln x0,所以f(x)0,故f(x)在(1,+)上单调递减,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减.因为01b11则hb=1-1b2ln b0,故h(b)在区间(1,+)上单调递增.当b1时,h(b)0h(b)0f(b)f1b.故f(x)的最小值为f1b=-bln b-1b.求函数f(x)在闭区间a,b内的最大值和最小值的思路 (1)若所给的闭区间a,b不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f (x)=0在区间a,b内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间a,b含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.(2019南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,nR).(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-4mx=1-4mx2x,当m0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,令f(x)0,得0xm2m,令f(x)m2m,所以f(x)在0,m2m上单调递增,在m2m,+上单调递减.(2)由(1)知,当m0时,f(x)在0,m2m上单调递增,在m2m,+上单调递减.所以f(x)max=fm2m=lnm2m-2m14m-n=-ln 2-12ln m-12-n=-ln 2,所以n=-12ln m-12,所以m+n=m-12ln m-12,令h(x)=x-12ln x-12(x0),则h(x)=1-12x=2x-12x,所以h(x)在0,12上单调递减,在12,+上单调递增,所以h(