公因数与最大公因数知识精要：一、课前思考：1.现在小丽家要装修新房子，小丽房间长3.6米，宽2米。要求给房间铺正方形的地砖，为了美观，请问有几种选择方法？用砖块数最少时是多少块？（提示：砖块有这9种规格供选择）若改为剪纸游戏，将长为36cm,宽为20cm的长方形，裁成若干个正方形，要求没有制片剩余，最少可裁处多少个正方形？二公因数与最大公因数的概念：其实我们在前面的学习中已经涉及到公因数，只是没有进行归纳。 概念：几个数公有的因数，就叫做这几个数的公因数，其中最大一个称为这些数的最大公因数.例1、下列各组数的最大公因数：17和51 23和32 24和60 13和52 4和9通过上面的运算，我们可以发现： 像、和，如果其中一个数为素数，他们的最大公因数要么是1，要么是这个素数本身，道理很好理解。也就是说只要另外一个数能整除这个素数，那么他们的最大公因数就是这个素数，不然，最大公因数就是1. 像和这样两个数都是合数的，情况又不一样。通过列举比较好列举，但是像的话，比较复杂,用列举法比较容易遗漏。下面介绍另外两种方法：方法一：分别把24和60分解素因数得：24= 60=则他们的最大公因数是这些公素因数的乘积，即=12使用这个方法时注意把相同的素因数对齐。方法二：用短除法， 2|24 60 、用公有的素因数2除 2|12 30 、再用第一次商公有的素因数2除 3|6 15 、再用上一步商公有的素因数3除 2 5 、除到两个商的最大公因数为1为止把所有的除数乘起来，就得到24和60的最大公因数，为=12。 互素的概念:公因数只有1的两个数叫互素。 互素的要点：1、互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的联系，也就是说 两个数不一定都是素数； 例1、下列说法中，正确的是（ ）2是4和6的一个公因数； 12是24和36的最大公因数如果两个数互素，那么这两个数一定是素数；1和任何正整数互素。1、在以下四种情况下可以直接判断两个数互素：两个不同的素数互素；1和任何整数都互素；两个相邻的数互素；一个素数与一个合数如果没有倍数的关系，则他们互素。例2、判断下列各组数是否互素？9和12；27和28；7和22；11和121；13和29例3、1,11,14,16能组成几对互素？求最大公因数的方法：分别列出两个数的因数，再从中找出公因数中最大的一个。缺点计算量大，且容易漏情况；分解素因数法：把两个数分解素因数，把他们相同的素因数相乘，及最大公因数；短除法：用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数。特征法：如果两个数互素，那么他们的的最大公因数为1；如果较小的数是较大数的因数，则其最大公因数是较小的数例3、求18和42的最大公因数。 例4、求25与50的最大公因数。 精解名题例1、用短除法求下列各数的最大公因数：(1) 12和30 (2) 24和36 (3)39和78 (4)72和84 (5)45和60 (6)45和75例2、用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？ 例3、有一个长方体大块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？备选例题例1、有一个质数,是两个数字组成的两位数,两个数字之和是8,两个数字之差是2,那么这个质数是几?巩固练习：一、选择：1.下列各组数中，不是互素的是：（ ） A12和25 ； B.63和30 ； C.101和100 ； D.53和61.2.8是32和48的 （ ）A.最大公因数 ； B.最小公倍数 ； C.公因数 ； D.互素.3.甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公因数是 （ ）A15 ； B.甲数 ； C.乙数 ； D.甲数乙数.4.几个数的最大公因数是12，这些数的全部公因数是（ ）A1，2，3，12 ； B.2，3，4，6； C.2，3，4，6，12； D.1，2，3，4，6，12.二、填空：1.12和18的全部公因数有： ，最大公因数为： .2.A=，B=，A和B的最大公因数是： .3.2,3,16,18四个数可以组成 对互素.4.先分别把下面两个数分解素因数，再求他们的最大公因数.21= ；39= .21和39的最大公因数为： .5.甲数=，乙数=，甲数和乙数最大的公因数是21，则A最小可取 ，B= . 2 | A B 6.根据短除法计算并填空： 5 | 15 4 3A和B分别是 ；A和B的最大公因数是 .三、简答：1.求出下面每组数的最大公因数，并指出哪些是互素.2和6 12和18 27和5128和14 32和56 17和322.有A，B，C，D四个数，已知A、C的最大公因数是72，B、D的最大公因数是90，这四个数的最大公因数是多少？3、已知两个数的和是60，它们的最大公因数是15，试求这两个数.应用题例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束.若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？三、探究题：1.如果正整数n能使也是整数，那么这样的正整数n有多少个？自我检测：1.请用至少两种办法求下列各组数的最大公因数.8和9 9和18 17和51 7和13 27和9 14和152.求下列各组数的最大公因数：8，12和24 14，21和35 18,20和28 17,51和1023.下列每一组数有没有公因数2？有没有公因数3？有没有公因数5？（1）9和15 （2）12和24 （3）18和54 （4）60和754.幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友.5.蒋老师家的电话号码为一个7位数，从左到右7个号码依次是：最小的素数； 最小的正数； 最小的奇素数； 偶素数因数只有3个的偶数；6和12的最大公因数；最小的自然数.蒋老师的电话号码是 .6.附加题小李家装修新房子，厨房是长为4米，宽为2.4米的长方形，准备用整块的方形地砖铺满厨房地面。市场上地砖有2030（单价：3.0元/块），3030（单价：4.8元/块），4040（单价：7.4元/块），6060（单价：厘米厘米）的四种尺寸，小李家既想选用较大尺寸的，还希望价廉物美，你能帮助他挑选最合适的一种吗？