分数乘法单元分析（一）教学目标1使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法的计算方法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算定律进行一些简便计算。2使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展初步的合情推理和演绎推理的能力。3使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流的学习能力，建立学好数学的信心。（二）内容安排及其特点1教学内容和作用。考虑到“倒数的认识”与“分数除法”的关系更为紧密，此次修订把“倒数的认识”移至“分数除法”单元。本单元的内容包括分数乘法以及利用分数乘法解决实际问题。具体编排结构如下。本单元教材是在学生掌握了整数乘法、分数的意义和性质以及分数加、减法的计算等知识的基础上进行编排的。利用分数乘法的计算，不仅可以解决有关的实际问题，也是后面学习分数除法和百分数的重要基础。分数乘法的意义是在整数乘法的意义的基础上扩展而来的，可以分为两种情况。第一种，求几个相同分数相加之和是多少，这和求几个相同整数相加之和的意义是完全相同的，是整数乘法意义的延续。第二种，求一个数的几分之几是多少可以用乘法计算，这是整数乘法意义的扩展。例如，一个苹果重100g，求这个苹果的重多少和求半个（个）苹果重多少，意义是完全相同的，列式都是100。因此，求一个数的几分之几是多少，也就是求几分之几个单位“1”是多少，只是我们一般更习惯于采用前一种表述。把这两种情况综合起来看，分数乘法的意义与整数乘法的意义在本质上是一致的，都是求几个相同数之和，这里的“几”既可以是整数，也可以是分数，“相同数”既可以是整数，也可以是分数。此外，学生以前学过“求一个数是另一个数的几倍”“求一个数的几倍是多少”等数量关系，知道“求一个数的几倍是多少”用乘法计算。这里的“几倍”可以是“整数倍”，也可以是“小数倍”，但一般是指倍数大于1的情况。当一个量与另一个量的“倍数”小于1时，般就不说“几倍”而说成“几分之几”。例如，“甲是乙的3倍”，我们一般就说“乙是甲的，而不说“乙是甲的倍”，但二者的数量关系在本质上是一致的。所以，“求一个数的几分之几是多少”只是“求一个数的几倍是多少”的一种延伸而已。一个数乘分数与分数的意义是相通的，就是用更小的单位去度量。如，c就是把c平分成a份，取其中的b份。当a1时，就是整数乘法。小数和分数相乘，既可以把小数改写成分数后进行相乘，如果分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数再相乘。但对于一些特殊的小数，如果小数和分数的分母可以直接约分，可以采用更为简便的计算方法。这样的计算技能对学生来说是有必要掌握的，因此，本次教材修订时，把此类问题编入教材。整数四则混合运算的运算顺序和运算定律，对分数同样适用。在这方面，教材的编排为学生提供了较大的自主探究、迁移类推的空间。与分数乘法相关的现实问题分为三类。第一类问题，数量关系是以前学过的，只是相关数据变成了分数，学生利用已有知识可以直接列式；第二类问题，数量关系是“求一个数的几分之几是多少”。教材把这两类问题编排在理解分数乘法的意义和解决分数乘法计算的过程之中，避免了过多的重复。在此基础上，教材又编排了第三类问题：稍复杂的分数乘法问题，即连续求一个数的几分之几是多少的问题和求比一个数多（少）几分之几的数是多少的问题，这两类问题都是以“求一个数的几分之几是多少”为基础的，需要学生在解决问题的过程中明确，虽然问题的复杂度提升了，但基本的数量关系其实没有改变，只是“一个数的几分之几”中的“一个数”和“几分之几”根据情境不同而改变。2教材编排特点。（1）加强了分数乘法意义的教学。分数乘法的意义虽说只是整数乘法意义的扩展，但由于“求一个数的几分之几是多少”对学生来说是一种新的表述形式，学生理解起来尚有一定难度。因此，教材在修订时单独编排了例2进行教学，使学生在已知数量关系的基础上理解求一个数的几分之几是多少为什么可以用乘法计算的原理。至此，把求几个相同分数相加之和、求一个数的几分之几是多少，都纳入到学生原有的乘法意义的认知体系。（2）重视在实际情境中进行计算教学。注重在实际情境中教学计算问题，是本套教材的编写特点。教材中的例1、例3、例4、例5都是通过实际情境引出需要用分数乘法计算的问题，其中，例1、例4的数量关系是学生已经学过的数量关系，只是数据换成了分数而已，而例3、例5的数量关系是“求一个数的几分之几是多少”。这样的编排不仅能帮助学生掌握分数与整数、分数、小数相乘的计算方法，更有助于学生深入理解分数乘法的意义，为后面解决稍复杂的分数乘法实际问题打下坚实的基础。（3）加强直观教学，突破教学难点。对分数乘法计算方法的探索与理解，历来是教学的难点。因此，需要借助直观图示，帮助学生理解算理。如例3，在例2的基础上解决了列式的问题，接下来就是解决如何计算。为了突破教学难点，根据学生的思维特点，引导学生参与折纸、涂色等操作活动，借助直观，手脑并用，数形结合，使学生在理解分数乘法算理的基础上掌握算法。同时注意算理推导过程的叙述，在关键处加以提示，引导学生讨论交流计算方法，归纳总结计算法则。（4）加强计算能力的培养。实验教材在“分数乘法”单元的例题和练习题中均未编排小数与分数相乘的计算，修订后加强了小数与分数相乘的内容，倡导算法多样化，根据分数和小数的数据特点，灵活选择合适的算法。通过比较，感悟简便计算方法，提高运算能力。例6和例7，在分数混合运算的基础上，把整数乘法运算定律推广到分数乘法。尤其是例6，通过比较两种计算长方形周长的方法，一方面巩固了多步计算的、带小括号的分数混合运算顺序，另一方面，为接下来学习把整数乘法运算推广到分数乘法作铺垫。这样安排，既有助于巩固和提高分数混合运算的熟练程度，又为灵活运用运算定律进行简便运算打下较好的基础，有利于全方位提高学生的运算能力。（5）提高用分数乘法解决实际问题的能力。教材通过例2和例3，使学生理解了“求一个数的几分之几是多少”要用乘法计算，在例4和例5这两个例题中，对这一数量关系又有了更深的体会。而在学习了分数混合运算之后，再安排例8和例9，让学生解决稍复杂的实际问题。例8是连续求一个数的几分之几是多少的问题，例9是求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。这两个例题中，都注重利用直观图示分析题目的数量关系，明确每一步计算时把谁看作单位“1”，帮助学生形成解决问题的策略。这样循序渐进地安排，既突出重点，又分散难点，可以使学生很好地经历问题解决的过程，掌握分析和解答的策略，养成回顾与反思问题解决过程的习惯。（三）教学建议1在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。标准（2020版）指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。”本单元内容与学生已有知识有着密切的联系，要充分利用学生已有的知识经验进行教学。例如，分数乘法的意义是整数乘法的扩展，因此，在让学生学习表示“几个相同分数相加”的分数乘法时，可以完全放手让学生根据已学的分数加法进行推导。再如，解决例8、例9等稍复杂的实际问题时，都要引导学生紧密联系例2、例3中所学的如何求一个数的几分之几是多少这一基本模型去思考，学会根据具体的情境确定谁是单位“1”。此外，分数乘法的计算，还要用到学过的约分等知识。所有这些内容，教师都应注意让学生在已有知识经验的基础上，自主建构新知识。2让学生在现实情境中学习计算。标准（2020版）指出：“教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。”教材在编排计算内容时，注意与现实情境有机结合。教学中，教师应结合教材提供的实例，尤其是练习中丰富的现实素材，也可以选择学生身边的事例，借助现实情境，引导学生提出数学问题，经历探索分数乘法计算的过程。3通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方法。分数乘法计算教学的重点是让学生理解算理，掌握计算方法。让学生记住分数乘法的计算法则并不困难，但让学生理解分数乘法的算理，尤其是分数乘分数的算理，是教学的难点。此时，就需要借助直观，引导学生通过观察、实验、操作、推理等探索性的活动，理解分数乘分数结果中的分母和分子分别是怎样来的。学生通过直观图示和抽象推理，一方面，可以更好地理解算理，更重要的是慢慢养成凡事求理、实事求是的数学科学态度。同时，在这一过程中，还可以提高学生的观察、操作、分析和推理等能力。4紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式。分数乘法的意义有两种不同的表述，其中“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”对学生而言是全新的。在解决相关实际问题时，教师要引导学生找出两个相比较的量，分析两个量之间的数量关系，弄清哪个量是单位“1”，要求的量是单位“1”的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。这类基本问题的解题思路的理解和掌握，为学生解决稍复杂的实际问题奠定了基础，同时也为“分数除法”单元解决实际问题提供了直接支持。5有效运用画图策略，帮助学生分析和解决问题。标准（2020版）指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”画图既可以将学生对题意的理解加以外显，又可以将现实情境抽象为数学模型，帮助分析和解决问题。因此学生在问题解决的过程中一，首先应明确题目中的信息和问题，并用图（表、符号或操作等）将题目中的信息和问题表示出来。如连续求个数的几分之几是多少的问题和求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题，数量关系比较复杂，用线段图等方式可以比较清晰、直观地表示出数量之间的关系。教学时要有效运用画图策略，帮助学生理解题意，分析数量关系。可以先从会看示意图入手，逐步学会画图分析数量关系，不断提高学生分析问题和解决问题的能力。6教学时注意让学生感悟数学思想，积累数学活动经验。标准（2020版）指出：“引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。”数学思想蕴涵于数学知识的形成、发展和应用的全过程，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。教学时，要注意时时处处加以渗透。例如，在教学分数乘法的计算时，教师应注意渗透数形结合、归纳等数学思想方法；在用分数乘法解决实际问题的教学中，教师应注意渗透数形结合、对应等数学思想方法。此外，还应注意在教学中结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学知识的发生、发展过程，在“做”和“思考”的过程中逐步积累数学活动经验。例如，教学分数乘分数的计算时，引导学生经历动手、观察、分析和推理的过程，通过自主探索、独立思考与合作交流，使自身的数学活动经验日益丰富。7发挥主体作用，倡导多样化的学习方式。标准（2020版）指出：“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。”无论是分数乘法计算的教学，还是利用分数乘法解决实际问题，都要发挥学生的主体作用，为学生提供充分开展数学活动的机会，在操作、观察的基础上开展探索、讨论与交流，分享多样化的计算方法和解决问题的策略，理解算理，归纳计算法则，分析数量关系，寻求问题解决的思路。8建议用12课时教学。