管理类专业学位联考数学辅导 关于条件充分性判断题目的几点说明：1 充分性命题定义对于两个命题和而言，若由命题成立，肯定可以推出命题也成立，则称命题是命题成立的充分条件，或称命题是命题成立的必要条件。【注意】是的充分条件可以简单地理解为：有必有，无时不定。2 解题说明与各选项含义本类题要求判断给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，而不要考虑条件是否必要。阅读条件（1）和（2）后选择：（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分（C）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分（D）条件（1）充分，条件（2）也充分（E）条件（1）和（2）单独不充分，且条件（1）和（2）联合起来也不充分3 图示描述（1）（2）（A）（1）（2）（B）（1）（2）（1）（2）联合（C）（1）（2）（D）（1）（2）（1）（2）联合（E）4 常用的解题方法（1） 直接定义分析法(即由推导)若由推导出,则是的充分条件；若由推导出与矛盾的结论，则不是的充分条件。直接定义分析法是解条件充分性判断题的最基本的解法。（2） 题干等价推导法（寻找题干结论的充分必要条件）要判断是否是的充分条件，先找出等价的充要条件，再判断是否是的充分条件。（3） 特殊反例法由条件中的特殊值或条件的特殊情况入手，导出与题干矛盾的结论，从而得出条件不充分的选择。【注意】该方法不能用在肯定性的判断上。第1章 算 术【大纲考点】实数的概念、性质、运算及应用。【备考要点】这部分看似简单，但题目往往设有陷阱，容易出错，解题过程中需更加细心。1.1 实数的概念与性质（1）整数和分数自然数: ；整数: ；分数: 把1分成等份，表示其中份的数，称为分数,记为，其中表示分母, 表示分子，读为分之。当时，称为真分数，如；当时，称为假分数，如；由一个整数和一个真分数合成的数称为带分数，如。分母为100的分数称为百分数，记为。整除: ，均为整数。这里称为的约数，称为的倍数。若,，则称为的公倍数，一般我们感兴趣的是最小公倍数;若 ，则称为的公约数，一般我们关心最大公约数。我们可以把两个数的公倍数与公约数的概念推广到若干个数的情形。互质数：公约数只有1的两个整数称为互质数。奇数：不能被2整除的整数；偶数：能被2整除的整数。注意，0是偶数。质数（素数）：只有1和本身两个约数的正整数；注意，2是唯一的既是质数又是偶数的整数，2是最小的质数，大于2的质数必为奇数。合数：（大于2的非质数）合数是若干个质因数的乘积。4是最小的合数。 分数的分子、分母同乘或同除以一个非零数，其值不变，即，。由此，可把一个分数化为与它等值，但分子、分母都较小的分数，称为约分。根据上述性质，可以把分数化为为互质数，此时称为最简分数。（2）有理数与无理数任何可表为形如（其中为整数，）的数称为有理数。正整数，负整数，正分数，负分数和零，统称有理数。有理数可表示为有限小数或无限循环小数。不能用有理数表示的数，称为无理数。如，等。（3）实数：实数由有理数和无理数（无限不循环小数）组成。通常用表示。实数与数轴上的点可建立一一对应关系。实数既可称作数，也可称为数轴上的点。实数的有序性：即若是任意两个实数，则必有，或，或。1.2 实数的分类按有理数、无理数分类：按性质符号分类：1.3 实数的运算实数的四则运算（加、减、乘、除）加法满足交换律和结合律；减法是加法的逆运算。，。乘法满足交换律和结合律；除法是乘法的逆运算。，。加法与乘法满足分配律。，。实数的乘方与开方运算乘方运算：，；开方运算：，这里若为偶数，则要求。一般的 ，这里要求运算有意义。#例1.1请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于。A B C D E解：。选E。1.4 绝对值正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值还是零。绝对值的性质（1）对称性 ；（2）等价性 ，；（3）自比性 ；（4）非负性 ；【常见考点】若干个非负性质的数之和为零时，则每个非负数均为零。（5）由，故等价于且；由，故等价于；同样可得：等价于且；等价于【常见考点】等号成立时的条件。1.5比和比例，这时。若，则。此因。同样可得：。正比例关系两个数的比值一定；反比例关系两个数的乘积一定。比例的几个重要定理（1）更比定理 ；（2）反比定理 ；（3）合比定理 ；（4）分比定理 ；（5）合分比定理 ；（分子分母同取+号或同取-号 ）。（6）等比定理 。1.6平均值算术平均值设个数，称为这个数的算术平均值，几何平均值设个正数，称为这个正数的几何平均值。关于算术平均与几何平均的基本不等式（1）对一切，有，；（2）对任意，有，；（1）的证明：。在（2）中，取，可得调和平均不等式，事实上，对任意正整数，若，则调和平均、几何平均和算术平均成立如下的不等式当且仅当时，等号成立。1.7 题型归纳【题型1】考察质数、合数、奇数、偶数、最小公倍数等性质【提示】掌握并灵活应用这些性质例1.2记不超过10的素数的算术平均数为，则与最接近的整数是（）。（）（）（）（）（）解：不超过10的素数为2，3，5，7，（注意1不是素数），故选C。例1.3某人左右两手分别握了若干枚石子，左手中的石子数乘3加上右手中的石子数乘4之和为29，则右手中的石子数为（）（）奇数（）偶数（）质数（）合数（）以上结论均不正确解：由左右29，得右（29左）为整数，必左手的数字为或时，才能整除，故右手的数字为或，均为质数，选。#例1.4一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，另一侧是两位异性同学，则这班的同学人数（）（）一定是4的倍数（）不一定是4的倍数（）一定不是4的倍数（）一定是2的倍数，不一定是4的倍数（）以上结论均不正确解：根据题意得到同学的排列规律：男男女女男男女女，即有偶数个男生和偶数个女生，且男生女生人数相当，自然选。例1.5在一条3600m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40m原已挖好一个坑，现改为每隔60m立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是。A和 B和 C和 D和 E和解：；。注意头尾均需竖立电线杆，则原需竖立电线杆91根，现需竖立电线杆61根。40与60的最小公倍数是120，则在每120m的区间内，原已有0m处，40m处，80m处，120m处各一个坑，现需改为0m处，60m处，120m处各一个坑，则需要重新挖一个坑和填两个坑，分析至此，对照五个答案，选D即可。进一步 ，则挖坑数为，填坑数为。若改为植树或树广告牌等需公路两边都要做的问题，则数目通常要乘以2。【题型2】考察数的整除【提示】数的除法一般要涉及余数问题，当余数为零时，就称为整除。例1.6某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间房住8人，则仅有一间未住满，那么该校原安排女生房间数为 。A B C D E 解：设原安排女生房间数为，依题意；。当然，只能选C。例1.7若是一个大于100的正整数，则一定有约数（）A B C D E 解： ，连续两个数相乘，一定可以被整除，连续三个数相乘，一定可以被整除，所以一定有约数，选B。例1.8 9121除以某质数，余数得13，这个质数是（）A B C D E 解：，所求质数要大于余数13，必取D。【题型3】计算含绝对值代数式的值【提示】掌握去绝对值符号的三种方法(1)确定绝对值符号内式子的符号，根据绝对值定义去掉绝对值符号；(2) 利用平方法去掉绝对值符号；(3)根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号。#例1.9实数在数轴上的位置如下图所示，其中为原点，则代数式。A B C D E解：，选A。例1.10（2003.10）可以确定。（1） （2）解：（1），不充分；（2），不充分。（1）（2）联合时，不能成立，选E。【题型4】考察绝对值的非负性质【提示】(1) 有限个非负数（式子）之和为零，则其中每个非负数（式子）必为零；(2) 有限个非负数（式子）之和仍为非负。#例1.11已知，那么（）A B C D E 解：根据非负性，选B。例1.12设满足条件，则（）A B C D E 解：先将等式变形 ，所以，选C。例1.13（2001.10）已知，则的取值范围是（）。A B C D E.无法确定 解：，则必和（后一不等式为平方根有意义，容易忽略）。选C。例1.14（2004.10）。（1）； （2）。解：欲使有意义，当时必，又，则，故（2）是充分条件。选B。【题型5】考察三角不等式的应用【提示】根据三角不等式进行分析解题是每年考试的难点与热点,处理方法可以从绝对值的运算法则与性质入手,同时注意三角不等式可以推广到有限个实数之和的绝对值不大于它们的绝对值之和。#例1.15成立。（1） ；（2）。解：，选C。例1.16已知，则（）。A B C D E 解：由得，则，选B。例1.17已知，则的取值范围是（）。A B C D E 解：由，又令，所以此时可取或得，选E。【题型6】一般比例式的计算【提示】比与比例问题在考试中占有一定的比例,处理此类问题的技巧是设比例系数.例1.18（2002.1）若，则的值等于（ ）A B 或 C 或 D E 或 解：由等比定理 ，当然 若，则，选B。例1.19甲、乙两种茶叶以（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶，乙种茶。现甲种茶价格上涨，乙种茶价格下降后，成品茶的价格恰好保持不变，则等于。A B C D E解：两种茶叶价格变化前后成品茶价格的变化应为与，现成品茶的价格保持不变得 。选C。#例1.20(2002.