26 1 2二次函数 二次函数y ax2的图象和性质 复习 函数 在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么就说x是自变量 y是x的函数 一般地 形如 的函数 叫做二次函数 其中 是x自变量 a b c分别是函数表达式的二次项系数 一次项系数和常数项 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 二次函数 思考 一次函数的图像是一条直线 反比例函数的图像是双曲线 二次函数的图像是什么形状呢 通常怎样画一个函数的图像 二次函数的图像 画函数y x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 再用平滑曲线顺次连接各点 就得到y x2的图像 y x2 二次函数的图像 请画函数y x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 再用平滑曲线顺次连接各点 就得到y x2的图像 y x2 从图像可以看出 二次函数y x2和y x2的图像都是一条曲线 它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线 这样的曲线叫做抛物线 y x2的图像叫做抛物线y x2 y x2的图像叫做抛物线y x2 实际上 二次函数的图像都是抛物线 它们的开口向上或者向下 一般地 二次函数y ax2 bx c的图像叫做抛物线y ax2 bx c 二次函数的图像 还可以看出 二次函数y x2和y x2的图像都是轴对称图形 y轴是它们的对称轴 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点 抛物线y x2的顶点 0 0 是它的最低点 抛物线y x2的顶点 0 0 是它的最高点 y x2 y x2 例题与练习 例1 在同一直角坐标系中画出函数y x2和y 2x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 8 2 0 5 0 0 5 2 4 5 8 4 5 函数y x2 y 2x2的图像与函数y x2 图中虚线图形 的图像相比 有什么共同点和不同点 观察 共同点 不同点 开口向上 除顶点外 图像都在x轴上方 开口大小不同 例题与练习 在同一直角坐标系中画出函数y x2和y 2x2的图像 解 1 列表 2 描点 3 连线 函数y x2 y 2x2的图像与函数y x2 图中虚线图形 的图像相比 有什么共同点和不同点 观察 共同点 不同点 开口向下 除顶点外 图像都在x轴下方 开口大小不同 归纳 一般地 抛物线y ax2的对称轴是y轴 顶点是原点 当a 0时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线的最低点 a越大 抛物线的开口越小 当a 0时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线的最高点 a越大 抛物线的开口越大 在同一坐标系内 抛物线y ax2与抛物线y ax2是关于x轴对称的 a 0 a 0 例题与练习 1 函数y 2x2的图象的开口 对称轴 顶点是 2 函数y 3x2的图象的开口 对称轴 顶点是 向上 向下 y轴 y轴 0 0 0 0 3 观察函数y x2的图象 则下列判断中正确的是 A 若a b互为相反数 则x a与x b的函数值相等 B 对于同一个自变量x 有两个函数值与它对应 C 对任一个实数y 有两个x和它对应 D 对任意实数x 都有y 0 例题与练习 例2 已知y m 1 x是二次函数且其图象开口向上 求m的值和函数解析式 m2 m 解 依题意有 m 1 0 m2 m 2 解 得 m1 2 m2 1 由 得 m 1 m 1 此时 二次函数为 y 2x2 课堂小结 1 二次函数的图像都是抛物线 2 抛物线y ax2的图像性质 2 当a 0时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线的最低点 0 0 当a 0时 抛物线的开口向下 顶点是抛物线的最高点 0 0 a 越大 抛物线的开口越小 1 抛物线y ax2的对称轴是y轴 顶点是原点 二次函数图象的知识归纳小结 增大 0 0 最低点 0 0 最高点 y轴 y轴 向上 向下 增大 减小 增大 增大 增大 减小 增大