高三年级第四次高考适应性考试数学 理科 能力测试 一 选择题 本大题共12 小题 1 设集合lg3Ax yx 2 x By yxR 则ABU等于 A B RC 1x xD 0 x x 答案 D 解析 分析 首先求出集合3Ax x 0By y 再根据集合的并集运算即可求解 详解 Qlg3303Ax yxx xx x 2 0 x By yxRy y 0ABx x 故选 D 点睛 本题主要考查函数的定义域 值域以及集合的基本运算 属于基础题 2 设 0 5 2a 0 5 log0 6b 4 tan 5 c 则 A abc B cba C bca D cab 答案 B 解析 分析 由指数函数的性质得1a 由对数函数的性质得0 1b 根据正切函数的性质得0c 即可求解 得到 答案 详解 由指数函数的性质 可得 0 5 21a 由对数函数的性质可得0 5 log0 60 1b 根据正切函数的性质 可得 4 tan0 5 c 所以 cba 故选 B 点睛 本题主要考查了指数式 对数式以及正切函数值的比较大小问题 其中解答中熟记指数函数与对数 函数的性质 以及正切函数的性质得到 a b c的取值范围是解答的关键 着重考查了分析问题和解答问题的 能力 属于基础题 3 在 ABC中 0CA CB u uu v uu u v 2BC BA uuu v uuu v 则 BC uu u v A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 解析 分析 由向量的数量积公式直接求解即可 详解 因为 0BC AC uuu v uuu v 所以 ABC为直角三角形 所以 2 cos 2BC BAABBCABCBC uu u v u u u vuuu v uu u vuu u v 所以2BC u uu v 故选 B 点睛 本题考查平面向量的夹角与模 以及平面向量数量积的运算 考查运算求解能力 4 在等差数列 n a中 若 5 a 7 a是方程 2 260 xx的两根 则 n a的前 11 项的和为 A 22B 33C 11D 11 答案 D 解析 分析 a5 a7 是方程 x2 2x 6 0 的两根 则a5 a 7 2 S11 1 11 11 2 aa 11 a6 进而得到结果 详解 等差数列 an 中 若 a5 a7 是方程x2 2x 6 0 的两根 则a5 a7 2 a6 1 2 a5 a7 1 an 的前 11项的和为 S11 1 11 11 2 aa 11a6 11 1 11 故选 D 点睛 点睛 本题考查等差数列的通项公式 是基础的计算题 对于等差数列的小题 常用到的方法 其 一是化为基本量即首项和公差 其二是观察各项间的脚码关系 即利用数列的基本性质 5 若 cos22 2 sin 4 则cossin的值为 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 2 答案 C 解析 分析 利用二倍角公式和差角公式可得 22 cos2cossin2 222 sin sincos 4 22 求解即可 详解 由题 2222 cos2cossincossincossin2 2 2222 sin sincossincos 4 2222 所以 1 sincos 2 故选 C 点睛 本题考查二倍角公式的应用 考查差角公式的应用 考查运算能力 6 设函数 2 1 ln 1 1 fxx x 则使21fxfx成立的 x的取值范围是 A 1 1 3 B 1 1 3 C 1 1 3 3 D 11 33 答案 A 解析 试题分析 2 1 ln 1 1 fxx x 定义域为 函数为偶函数 当时 函数单调递增 根据偶函数性质可知 得 21fxfx 成立 的范围为 1 1 3 故答案为A 考点 抽象函数的不等式 思路点晴 本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题 属于基础题型 应牢记 根 据函数的表达式可知函数为偶函数 根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增 根据偶 函数关于原点对称可知 距离原点越远的点 函数值越大 把21fxfx可转化为 解绝 对值不等式即可 7 从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学 物理 化学 生物四科竞赛 其中甲不能参加生物竞赛 则不同的 参赛方案种数为 A 48 B 72 C 90 D 96 答案 D 解析 因甲不参加生物竞赛 则安排甲参加另外3 场比赛或甲学生不参加任何比赛 当甲参加另外3 场比赛时 共有 1 3 C 3 4 A 72种选择方案 当甲学生不参加任何比赛时 共有 4 4 A 24 种选择方案 综上所述 所有参赛方案有72 24 96种 故答案为 96 点睛 本题以选择学生参加比赛为载体 考查了分类计数原理 排列数与组合数公式等知识 属于基础题 8 x y 2 x y 5 的展开式中x 3 y 3 的系数为 A 80 B 40 C 40 D 80 答案 C 解析 555 222xyxyxxyyxy 由 5 2xy展开式的通项公式 5 15 C2 rr r r Txy可得 当3r时 5 2xxy展开式中 33 x y的系数为 3 32 5 C2140 当 2r 时 5 2yxy展开式中 33 x y的系数为 2 23 5 C2180 则 33 x y的系数为804040 故选 C 名师点睛 1 二项式定理的核心是通项公式 求解此类问题可以分两步完成 第一步根据所给出的 条件 特定项 和通项公式 建立方程来确定指数 求解时要注意二项式系数中n 和 r 的隐含条件 即n r 均为非负整数 且n r 如常数项指数为零 有理项指数为整数等 第二步是根据所求的指数 再求所求 解的项 2 求两个多项式的积的特定项 可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 9 若双曲线C 22 22 1 xy ab 0a 0b 的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截 得的弦长为2 则C的离心率为 A 2B 3 C 2 D 2 3 3 答案 A 解析 由几何关系可得 双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的渐近线方程为0bxay 圆心2 0到渐近线距离为 22 213d 则点2 0到直线0bxay的距离为 22 202 3 bab d c ab 即 22 2 4 3 ca c 整理可得 22 4ca 双曲线的离心率 2 2 42 c e a 故选 A 点睛 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质 求双曲线的离心率 或离心率的取值范围 常见有两种 方法 求出 a c 代入公式 c e a 只需要根据一个条件得到关于a b c 的齐次式 结合 b2 c 2 a2 转化为 a c 的齐次式 然后等式 不等式 两边分别除以a 或 a2转化为关于e的方程 不等式 解方程 不 等式 即可得 e e的取值范围 10 直线24yk x与曲线 2 14yx 有两个不同的交点 则实数的k 的取值范围是 A 53 12 4 B 5 12 C 1 3 2 4 D 5 0 12 答案 A 解析 解 因为曲线y 1 2 4x x 2 与直线 y k x 2 4 有两个交点时 那么结合图像可知参数k 的取值范 围是 53 12 4 选 A 11 已知F是抛物线 2 yx 的焦点 点 A B在该抛物线上且位于 x轴的两侧 2OA OB uuu v u uu v 其中O为坐标 原点 则 ABO与AFO面积之和的最小值是 A 2B 3C 172 8 D 10 答案 B 解析 详 解 试 题 分 析 据 题 意 得 1 0 4 F 设1122 A xyB xy 则 22 1122 xyxy 22 121212 2 2y yy yy y或 12 1y y 因 为 A B位 于x轴 两 侧 所 以 所 以 12 2y y两 面 积 之 和 为 12211 111 224 Sx yx yy 22 12211211 1111 2248 y yy yyyyy 11 1 21 8 yy y 1 1 29 8 y y 1 1 29 3 8 y y 12 设函数 21 x fxexaxa 其中 1a 若存在唯一的整数 0 x 使得0 0f x 则 a的取值范 围是 A 3 1 2e B 33 2e 4 C 33 2e 4 D 3 1 2e 答案 D 解析 分析 设21 x g xex 1ya x 问题转化为存在唯一的整数 0 x使得满足 0 1g xa x 求导可得 出函数yg x的极值 数形结合可得01ag且 3 12ga e 由此可得出实数 a的取值范 围 详解 设21 x g xex 1ya x 由题意知 函数yg x在直线yaxa下方的图象中只有一个点的横坐标为整数 21 x gxex 当 2 1 x时 0gx 当 1 2 x时 0gx 所以 函数yg x的最小值为 1 2 1 2 2 ge 又01g 10ge 直线yaxa恒过定点1 0且斜率为a 故01ag且 3 1gaa e 解得 3 1 2 a e 故选 D 点睛 本题考查导数与极值 涉及数形结合思想转化 属于中等题 二 填空题 本大题共4 小题 13 采集到两个相关变量 x y的四组数据发别为 3 2 5 4 m 5 4 6 4 5 根据这些数据 求 得y关于x的线性回归方程为 0 70 35yx 则m 答案 3 解析 分析 先求出这组数据的样本中心点 样本中心点是用含有m的代数式表示的 把样本中心点代入线性回归方程 得出关于m的一次方程 解方程即可求解 详解 3456 4 5 4 x 2 544 511 44 mm y Qy关于x的线性回归方程为 0 70 35yx 11 0 74 50 35 4 m 3m 故答案为 3 点睛 本题考查回归分析的初步应用 考查样本中心点的性质 考查方程思想的应用 属于基础题 14 函数 f x 的图象在 2x 处的切线方程为230 xy 则 答案 3 解析 试题分析 Q函数 f x 的图象在 2x 处的切线方程为230 xy 22 2 30 2 2 f f 解得 2 1 2 2 f f 2 2 3ff 故答案应填 3 考点 导数的几何意义 15 已知 A B C P是同一球面上的四个点 其中ABC是正三角形 PA平面ABC 26PAAB 则该球的体积为 答案 323 解析 分析 根据题意画出几何体 找出球的球心 再根据球的体积公式即可求解 详解 由题意可知PABC为三棱锥 把三棱锥扩展为三棱柱 画出几何体如下 可以看出 上下底面中心连线中点O与顶点 A连线即为球的半径 由已知 1 3 2 OEAP 23 3 32 AEAB 根据勾股定理可得 2222 3 3 2 3OAOEAE 则该球的体积为 3 3 44 2 3323 33 VOA 故答案为 323 点睛 本题主要考查空间几何体以及球的体积公式 考查了学生的空间想象能力 同时需熟记球的体积公 式 此题属于中档题 16 下列共用四个命题 1 命题 0 xR 2 00 13xx 的否定是 xR 2 13xx 2 在回归分析中 相关指数 2 R 为0 96的模型比 2 R 为0 84的模型拟合效果好 3 a bR p ab 11 0 ba 则 p是q的充分不必要条件 4 已知幂函数 2 33 m fxmmx为偶函数 则24f 其中正确的序号为 写出所有正确命题的序号 答案 24 解析 依据含一个量词的命题的否定可知 命题 0 xR 2 00 13xx 的否定是 xR 2 13xx 故命题 1 不正确 由回归分析的知识可知 相关指数越大 其模型的拟合效果越好 则命题 2 是正确 的 取 1 2ab 尽管ab 但 11 ba 故命题 3 不正确 由幂函数的定义可得 2 320mm 则 2 1mm 舍去 故 2 2 4f xxf 则命题 4 是正确的 应填答案24 点睛 本题是一道选择填空题 求解时充分借助题设中提供的四个命题的条件和结论 综合运用所学知识从 而对问题做出正确的推理和判断 从而选出正确的命题 排除错误的命题 进而使得问题获解 三 解答题 本大题共6 小题 17 已知函数 22 1 cossin 0 2 f xxxxp 1 求 f x