引起数学危机的无理数无理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。第一个被发现的无理数，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是。他想，X代表对角线长，而，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是1和4之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了 等更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。