第5节直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号与垂直有关的命题判断1,2,3直线与平面垂直的判定与性质4,7,9平面与平面垂直的判定与性质5,10,13垂直关系的综合问题11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.“直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是(D)(A)直线l与平面内的任意一条直线垂直(B)过直线l的任意一个平面与平面垂直(C)存在平行于直线l的直线与平面垂直(D)经过直线l的某一个平面与平面垂直解析:若直线l垂直于平面,则经过直线l的某一个平面与平面垂直,当经过直线l的某一个平面与平面垂直时,直线l垂直于平面不一定成立,所以“经过直线l的某一个平面与平面垂直”是“直线l垂直于平面”的必要不充分条件.故选D.2.若平面,满足,=l,P,Pl,则下列命题中是假命题的为(B)(A)过点P垂直于平面的直线平行于平面(B)过点P垂直于直线l的直线在平面内(C)过点P垂直于平面的直线在平面内(D)过点P且在平面内垂直于l的直线必垂直于平面解析:由于过点P垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线,因此也平行于平面,因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面,不一定在平面内,因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C,D正确.3.(2018岳阳模拟)已知,表示平面,m,n表示直线,m,给出下列四个结论:n,n;n,mn;n,mn;n, mn.则上述结论中正确的个数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由于m,所以m或m.n,n或n,斜交或n,不正确;n,mn,正确;n,mn或m,n相交或互为异面直线,不正确;正确.故选B.4.如图所示,已知ABC为直角三角形,其中ACB=90,M为AB中点,PM垂直于ABC所在平面,那么(C)(A)PA=PBPC(B)PA=PBPC(C)PA=PB=PC(D)PAPBPC解析:因为在RtABC中,M为斜边的中点,所以MB=MC=MA.又因为PM垂直于ABC所在平面,所以PB=PC=PA.5.(2018锦州模拟)如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD= 45,BAD=90,将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是(D)(A)AD平面BCD (B)AB平面BCD(C)平面BCD平面ABC (D)平面ADC平面ABC解析:在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,所以BDCD,又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,所以CDAB,又ADAB,ADCD=D,故AB平面ADC,又AB平面ABC,从而平面ABC平面ADC.6.(2018开封模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC= BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为(A)(A)(B)1(C)(D)2解析:设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可得A1B1=,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在RtDB1E中,B1E=.由面积相等得=x,得x=.7.(2018鄂尔多斯模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系是.解析:由正方体的性质知,ACBD,BB1AC,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC,所以EFBD,EFBB1,又BDBB1=B,所以EF平面BB1O.答案:垂直8.(2018临汾模拟)在ABC中,ACB=90,AB=8,ABC=60,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.解析:因为PC平面ABC,CM平面ABC,所以PCCM.所以PM=.要使PM最小,只要CM最小,此时应有CMAB.因为AB=8,ABC=60,ACB=90.所以BC=AB=4,AC=4.所以CM=2.所以PM=2.即PM的最小值为2.答案:2能力提升(时间:15分钟)9.(2018泉州质检)如图,在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是(D)解析:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,是一个平面图形,直线BD1平面EFMNQG,选项A,B,C中的平面均与平面EFMNQG重合,只有D中平面EFG不与该平面重合,故选D.10.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有(写出全部正确命题的序号).平面ABC平面ABD;平面ABD平面BCD;平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE;平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE.解析:由AB=CB,AD=CD知ACBE,ACDE,从而AC平面BDE,故正确.其他均不正确.答案:11.(2018南宁模拟)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC平面ABC,在折起后形成的三棱锥DABC中,给出下列三个命题:DBC是等边三角形;ACBD;三棱锥DABC的体积是.其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)解析:取AC的中点O,连接OD,OB.则ACOD,ACOB,所以BOD=90,所以BD=1=CD=BC,故正确;易知AC平面BOD,所以ACBD,故正确;=11=,故不正确.答案:12.(2018宿迁模拟)假设平面平面=EF,AB,CD,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BDEF,现有下面四个 条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与BD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的是 .(把你认为正确的条件序号都填上)解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BDEF.故要证BDEF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有能保证这一条件.答案:13.(2018全国卷)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MCOP.又MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.14.四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体 积比.(1)证明:取AC中点O,连接OD,OB,因为AD=CD,O为AC中点,所以ACOD,又因为ABC是等边三角形,所以ACOB,又因为OBOD=O,所以AC平面OBD,又BD平面OBD,所以ACBD.(2)解:设AD=CD=2,所以AC=2,AB=CB=2,又因为AB=BD,所以BD=2,所以ABDCBD,所以AE=EC,又因为AEEC,AC=2,所以AE=EC=2,在ABD中,设DE=x,根据余弦定理cosADB=,所以=.解得x=,所以点E是BD的中点,则=,所以=1.