33.3函数的最大(小)值与导数提出问题如图为yf(x)，xa，b的图象问题1：观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值问题2：结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值、最小值？若存在，分别为多少？提示：存在f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)问题3：函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其极值吗？提示：不一定，也可能是区间端点的函数值问题4：怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值导入新知1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值化解疑难理解函数最值时，需注意以下几点(1)函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部区间上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值利用导数求最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)x33x，x，3；(2)f(x)x2(x0)解(1)f(x)33x23(1x)(1x)令f(x)0，得x1或x1，当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)0单调递减2单调递增2单调递减18所以x1和x1是函数在，3上的两个极值点，且f(1)2，f(1)2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f()0，f(3)18，所以f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)2x，令f(x)0得x3.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，3)3(3,0)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增所以当x3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(3)27，无最大值类题通法求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值活学活用求函数f(x)x34x4在0,3上的极值及最大值与最小值解：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，解得x12(舍去)，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f(x)0f(x)4单调递减极小值单调递增1函数f(x)x34x4在0,3上有极小值且f(x)极小值.函数的最大值为4，最小值为.含参数的函数最值问题例2已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值解f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.又f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.f(0)f(2)f(2)，当x2时，f(x)mina4037，得a3.当x0时，f(x)max3.类题通法已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决活学活用若f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值是3，最小值是29，求a，b的值解：f(x)3ax212ax3a(x24x)令f(x)0，得x0或x4.x1,2，x0.由题意知a0.(1)若a0，则f(x)，f(x)随x变化的情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)单调递增极大值3单调递减当x0时，f(x)取最大值f(0)b3.又f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，当x2时，f(x)取最小值，16a329，a2.(2)若a0，则f(x)，f(x)随x变化的情况如下表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)单调递减极小值29单调递增当x0时，f(x)取最小值f(0)b29.又f(2)16a29，f(1)7a290)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不符合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)单调递增极大值1m单调递减g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围解题流程活学活用已知函数f (x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对x0，方程f(x)2c2有解，求c的取值范围解：由题意知f(1)3c，因此bc3c，从而b3.对f(x)求导，得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意，知f(1)0，因此a4b0，解得a12.由f(x)48x3ln x(x0)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值所以函数f(x)的值域为3c，)若对x0，方程f(x)2c2有解，则2c2属于函数f(x)的值域，所以2c23c，即2c2c30，解得1c，所以c的取值范围为.随堂即时演练1函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值解析：选Df(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值2函数yxsin x，x的最大值是()A1B.1C D1解析：选C在上y1cos x0，所以yxsin x为增函数，当x时，ymax.3函数y在0,2上的最大值为_解析：y，令y0，得x10,2f(1)，f(0)0，f(2)，f(x)maxf(1).答案：4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大为f(a)a22a3，解之得a；若a1，则最大为f(1)1234.答案：5已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值解：(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x2