第6章 一阶动态电路分析 6.1 学习要求 （1）掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。 （2）理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。 （3）了解用经典法分析一阶动态电路的方法。 （4）了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。 （5）了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件。 6.2 学习指导 本章重点： （1）电流、电压初始值的确定。 （2）一阶电路的三要素法分析方法。 （3）时间常数的物理意义及其计算。 本章难点： （1）电流、电压初始值的确定。 （2）一阶电路的三要素法分析方法。 （3）电流、电压变化曲线的绘制。 本章考点： （1）电流、电压初始值的确定。 （2）一阶电路的三要素法分析方法。 （3）时间常数的计算。 （4）电流、电压变化曲线的绘制。 6.2.1 换路定理 1电路中产生过渡过程的原因 过渡过程是电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的中间过程，因为时间极为短暂，又称暂态过程。电路中产生过渡过程的原因是： （1）内因：电路中的能量不能突变。电路中的电场能和磁场能不能突变是电路 124 电工技术学习指导与习题解答 产生过渡过程的根本原因。 （2）外因或条件：换路。电路工作条件发生变化，如开关的接通或断开，电路连接方式或元件参数突然变化等称为换路。换路是电路产生过渡过程的外部条件。 2研究电路过渡过程的意义 （1）利用电路的过渡过程改善波形或产生特定的波形。 （2）防止电路产生过电压或过电流损坏用电设备。 3换路定理与初始值的确定 设换路发生的时刻为t?0，换路前的终了时刻用t?0?表示，换路后的初始时刻用t?0?表示。由于换路是瞬间完成的，因此0?和0?在数值上都等于0。根据能量不能突变，可以推出电路换路定理为： （1）电容两端电压uC不能突变，即：uC(0?)?uC(0?) （2）电感中的电流iL不能突变，即：iL(0?)?iL(0?) 电路中t?0?时的电流、电压值称为初始值。初始值的确定步骤如下： （1）求出t?0?时电路的uC(0?)和iL(0?)。 （2）根据换路定理确定t?0?时的uC(0?)和iL(0?)。 （3）求出t?0?时电路中其他电流和电压的初始值。 在以上计算过程中，必要时可画出电路在t?0?和t?0?时的等效电路。在画电路在t?0?和t?0?时的等效电路时，应注意以下几点： （1）若换路前电容和电感没有储能，即uC(0?)和iL(0?)均为0，则在t?0?和t?0?的等效电路中，电容可视为短路，电感可视为开路。 （2）若换路前电容和电感有储能，即uC(0?)和iL(0?)均不为0，并设电路已处于稳态，则在t?0?的等效电路中，电容可视为开路，其电压为uC(0?)；电感可视为短路，其电流为iL(0?)。而在t?0?的等效电路中，电容可视为电压为uC(0?)的恒压源，电感可视为电流为iL(0?)的恒流源。 6.2.2 一阶动态电路的分析方法 1经典法 分析一阶电路有经典法和三要素法等，它们对RC电路和RL电路都适用。用经典法求解一阶电路的步骤如下： （1）根据换路定理求出电路的初始值f?0?。 （2）根据KCL、KVL和元件伏安关系列出换路后电路的微分方程。 （3）求微分方程的特解，即稳态分量f?t?f?。其方法有二：一是设特解f?t?等于常数K，代入微分方程即得f?t?；二是假定换路后的电路已达到稳态，即电容视为开路，电感视为短路，运用直流电阻电路的分析方法，即可求出其中的电流和电压，即为稳态分量i?和u?。 （4）求微分方程的补函数，即暂态分量f?t?。其方法为：写出微分方程的齐次 方程式，令其解为f?t?Aept，代入齐次方程式可得特征方程，求出特征方程的根 1p，电路的时间常数为?。 p （5）将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解。为： f?t?f?t?f?t?f?Aept （6）根据初始值确定积分常数A。其方法为：将初始值f?0?代入上式，即可求得积分常数A为： A?f?0?f? 于是得微分方程的解为： f?t?f?f?0?f?e 2三要素法 ?t? 用经典法求解较复杂的电路时，可先用戴维南定理或诺顿定理将换路后的电路化简。 上述结果可归纳为一种求解一阶电路的简便方法，称为三要素法，即只要求出初始值f?0?，稳态值f?和时间常数，则f?t?便由上式惟一确定。用三要素法求解一阶电路的步骤如下： （1）根据换路定理求初始值f?0?。与前面所述初始值的确定求法相同。 （2）求稳态值f?。与前面所述微分方程特解的求法相同。 （3）求时间常数。对于RC电路： ?RC 对于RL电路： ?L R 其中R是换路后的电路除去电源（恒压源短路，恒流源开路）和储能元件（电容或电感开路）后，从储能元件两端所得无源二端网络的等效电阻，也就是从储能元件两端看进去的戴微南等效电源或诺顿等效电源的内阻。 3时间常数的意义及响应变化曲线的绘制 时间常数是一个反映电路过渡过程快慢的物理量，实际上反映了电路中能量存储或释放的速度。越大，电路过渡过程所需的时间越长；越小，电路过渡过程所需的时间越短。理论上电路过渡过程所经历的时间为无限长，但实际上当t?3?5?时f?t?已达到f?的?9599?%，这时可认为过渡过程已基本结束。 绘制响应（电流或电压）变化曲线的步骤如下： （1）在纵坐标上定出初始值f?0?和稳态值f?，过f?点画一条水平虚线。 （2）在横坐标上找到t?的点，并找到f?，一点。 线，即得所求曲线。 （3）过f?0?，0和f?，两点画一条指数曲线，终点接近f?值水平虚 126 电工技术学习指导与习题解答 如图6.1所示画出了4种情况下的响应变化曲线。 f( f( f(t) f( f( ft t （a）f?0?0 （b）f?0? f f(t) f f( f( f(t t （c）f?0 （d）f?0 图6.1 响应变化曲线的绘制 6.2.3 零输入响应和零状态响应 1一阶电路响应的分解 由动态元件的初始状态和激励（外加电源）共同作用产生的电流或电压称为全响应。根据动态电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即： 全响应?稳态分量?暂态分量 稳态分量是换路后的电路达到稳态时响应的值，它不随时间变化，是一个常数；暂态分量只存在于暂态过程中，它按指数规律衰减，电路达到稳态时其值为零。 根据动态电路激励与响应之间的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零状态响应，即： 全响应?零输入响应?零状态响应 零输入响应仅与初始状态有关，与激励无关，是输入为零时由初始状态产生的响应；零状态响应仅与激励有关，与初始状态无关，是初始状态为零时由激励产生的响应。 2一阶电路的零输入响应 （1）RC电路的零输入响应。RC电路的零输入响应是电容放电的过程，电容电压和电流分别为： ?t 127 uC?U0e ? t U? iC?0e? R 其中U0?uC(0?)?uC(0?)，?RC。 （2）RL电路的零输入响应。RL电路的零输入响应是电感释放能量的过程，电感电流和电压分别为： iL?I0e ? t ? ? t uL?RI0e 其中I0?iL(0?)?iL(0?)，?3一阶电路的零状态响应 LR ? 。 （1）RC电路的零状态响应。RC电路的零状态响应是电容充电的过程，电容电压和电流分别为： t?uC?US1?e? ? U? iC?Se? R t 其中US?uC(?)，?RC。 （2）RL电路的零状态响应。RL电路的零状态响应是电感存储能量的过程，电感电流和电压分别为： UiL?S R t? ?1?e? ? ? uL?USe 其中 LUS ?iL(?)，?。 RR ? t ? 6.2.4 微分电路与积分电路 1微分电路 微分电路的输出电压uo与输入电压ui的微分近似成正比，即： du uo?RCi dt 微分电路必须具备的条件为： （1）时间常数?RC?tw，其中tw为矩形脉冲的宽度。 128 电工技术学习指导与习题解答 （2）输出电压从电阻两端取出，如图6.2（a）所示。 2积分电路 积分电路的输出电压uo与输入电压ui的积分近似成正比，即： 1uo?uidt RC 积分电路必须具备的条件为： （1）时间常数?RC?tw，其中tw为矩形脉冲的宽度。 （2）输出电压从电容两端取出，如图6.2（b）所示。 o +uo- （a）微分电路 （b）积分电路 图6.2 微分电路和积分电路 6.3 习题解答 6.1 如图6.3所示电路，在开关S断开前已处于稳态，试求开关S断开后瞬间电压uC和电流iC、i1、i2的初始值。 分析 先在t?0?时的等效电路中求uC(0?)，因为t?0?时电路已处于稳态，电路duC ?0，所以这时电容C可看dt 作开路。然后在t?0?时的等效电路中求iC(0?)、i1(0?)和i2(0?)，这时电容C可用电 中各处的电流和电压都是常数，电容中的电流iC?C压为uC(0?)的恒压源代替。 解 画出t?0?时的等效电路，如图6.4（a）所示。根据分压公式，得t?0?时电容两端的电压为： 4 ?6?4（V） 2?4 根据换路定理，t?0?时电容两端的电压为： uC(0?)? uC(0?)?uC(0?)?4（V） 在t?0?瞬间，电容C可用电压为uC(0?)?6V的恒压源代替，由此可画出t?0?时的等效电路，如图6.4（b）所示。由于4电阻支路已断开，故t?0?时的电流i2为： i2(0?)?0（A） 根据欧姆定律，得t?0?时的电流i1为： US?uC(0?)6?4 ?1（A）