1 定远重点中学 2020 届高三下学期 4 月模拟考试 理科数学 本卷满分150 分 考试用时120 分钟 第 I 卷 选择题共 60 分 一 选择题 共 12 小题 每小题5 分 共 60 分 1 若 则的取值集合为 A B C D 2 若复数的实部和虚部相等 则实数的值为 A 1 B C D 3 已知直线和平面 且 则 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 在区间上随机取两个数 记为事件 的概率 为事件 的概率 为事件 的概率 则 A B C D 5 已知数列的首项为 第 2 项为 前项和为 当整数时 恒成立 则等于 A B C D 2 6 函数的图象可能 为 7 已知椭圆 22 1 43 xy C的左 右顶点分别为 A B F为椭圆 C 的右焦点 圆 22 4xy上有一动点P P不同于 A B两点 直线PA与椭圆 C 交于点Q 则 PB QF k k 的取值范围是 A 33 0 44 B 3 00 4 C 10 1 D 00 1 8 已知实数满足 则下列关系式中恒成立的是 A B C D 9 若函数在区间上单调递减 则实数的取值范围是 A B C D 10 已知双曲线的左 右焦点分别 以线段为直径的圆 与双曲线 在第一象限交于点 且 则双曲线的离心率为 3 A B C D 11 已知直线 经过函数图像相邻的最高点 和最低 点 则将的图像沿 轴向左平移个单位后得到解析式为 A B C D 12 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理 幂势既同 则积 不容异 意思是 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等 则 这两个几何体的体积相等 已知曲线 直线为曲线在点处的切线 如图 所示 阴影部分为曲线 直线以及轴所围成的平面图形 记该平面图形绕轴 旋转一周所得的几何体为 给出以下四个几何体 4 图 是底面直径和高均为的圆锥 图 是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的 几何体 图 是底面边长和高均为的正四棱锥 图 是将上底面直径为 下底面直径为 高为 的圆台挖掉一个底面直径为 高为 的倒置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理 以上四个几何体中与的体积相等的是 A B C D 第 II 卷 非选择题90 分 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 的展开式中项的系数为 14 在锐角中 角 所对的边分别为 且 成等差数列 则面积的取值范围是 15 如图所示 已知直线的方程为 是相外切的等圆 且分别与 坐标轴及线段相切 则两圆半径 用常数表示 16 已知两平行平面 间的距 离为2 3 点 AB 点CD 且 4 3ABCD 若异面直线AB 与 CD 所成角为60 则四面体 ABCD 的体积为 5 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写需给出文字说明 证明过程或 演算步骤 17 本小题满分 12 分 在ABC中 角 A B C所对的边分别为 sinsinsin2 3 a b c sin sin3 aAbBcC C aB 且满足 1 求角 C 2 若ABC的中线 CD 的长为 1 求ABC的面积的最大值 18 本小题满分12 分 如图 在四面体ABCD 中 平面 ABC平面 BCD DCBC 3AB 2BC 1AC 1 求证 ABAD 2 设E是BD的中点 若直线 CE与平面 ACD 的夹角为30 求四面体 ABCD外接球的表面积 19 本小题满分 12 分 已知过抛物线 2 2 0 Expy p焦点F且倾斜角的60 o 直 线l 与抛物线 E交于点 MNOMN 的面积为 4 I 求抛物线E的方程 II 设 P是直线2y上的一个动点 过 P作抛物线 E的切线 切点分别为 A B 直线 AB 与直线 OP y轴的交点分别为 Q R点 C D是以 R为圆心RQ为半径的圆 上任意两点 求CPD 最大时点P的坐标 20 本小题满分 12 分 2016年某市政府出台了 2020 年创建全国文明城市 简 称创文 的具体规划 今日 作为 创文 项目之一的 市区公交站点的重新布局 6 及建设 基本完成 市有关部门准备对项目进行调查 并根据调查结果决定是否验 收 调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分 并 将结果绘制成如图所示的频率分布直方图 相关规则为 调查对象为本市市民 被调查者各自独立评分 采用百分制评分 60 80 内认定为满意 80 分及以 上认定为非常满意 市民对公交站点布局的满意率不低于60 即可进行验收 用样本的频率代替概率 1 求被调查者满意或非常满意该项目的频率 2 若从该市的全体市民中随机抽取3 人 试估计恰有2 人非常满意该项目的 概率 3 已知在评分低于60分的被调查者中 老年人占 1 3 现从评分低于 60 分的被 调查者中按年龄分层抽取9 人以便了解不满意的原因 并从中选取2 人担任群众 督察员 记为群众督查员中老年人的人数 求随机变量的分布列及其数学期 望E 21 本小题满分 12 分 设函数ln x fxaex x 其中Ra e是自然对数的 底数 若 fx 是 0 上的增函数 求a的取值范围 若 2 2 e a 证明 0fx 请考生在22 23 两题中任选一题作答 注意 只能做选定的题目 如果多做 则按所做的 第一题记分 7 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 直线l 经过点0 1P 倾斜角为 6 在以原点为极点 x轴 正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C 的方程为4sin 1 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程 2 设直线 l 与曲线 C 相交于 AB 两点 求 11 PAPB 的值 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1fxx 1 求不等式211fxx的解集A 2 证明 对于任意的abA 都有 f abf afb 成立 参考答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 D 8 D 9 C 10 A 11 A 12 A 13 132 14 15 16 6 17 解析 1 222 sinsinsin2 33 cossin sin sin323 aAbBcCabc aCC BCab Q 即tan3 3 CC 2 由三角形中线长定理得 22222 224abcc 由三角形余弦定理得 222 cabab 消去 2 c得 224 42 3 ababab ab 当且仅当 ab时 等号成立 8 即 11433 sin 22323 ABC SabC 18 解析 1 由平面 ABC平面 BCD DCBC 得 DC 平面 ABC ABCD 又由3AB 2BC 1AC 得 222 BCABAC 所以 ABAC 故AB平面 ADC 所以ABAD 2 取AD的中点F 连接EF 则EF BA 因为AB平面 ADCEF平面 ADC 连接 FC 则30ECF 23CEEFAB 又90BADBCD 所以四面体 ABCD 的外接球的半径3RCE 故四面体 ABCD的外接球的表面积 2 4312 向量解法酌情给分 19 解析 I 依题意 0 2 p F 所以直线 l 的方程为 3 2 p yx 由 2 3 2 2 p yx xpy 得 22 2 30 xpxp 2 222 1212 2 34160 2 3 pppxxp x xp 所以 121212 37 8yyxxpp MNyypp 9 O到 MN 的距离 2 2 12 4 42 21 OMN p p dSMN dp 2p 抛物线方程为 2 4xy II 设 22 12 12 2 44 xx P tA xB x 由 2 4xy得 2 42 xx yy 则切线PA方程为 2 11 1 42 xx yxx即 2 111 1 242 xxx yxxy 同理 切线PB方程为 2 2 2 x yxy 把P代入可得 1 1 2 2 2 2 2 2 x ty x ty 故直线AB的方程为2 1 x ty即240txy 0 2R由 240 2 txy yx t 得 2 2 4 4 8 4 Q Q t x t y t 2 2 22 22 22 2 168 22 4 4 4 QQ t t rRQxy t t t 当 PC PD与圆 R相切时角CPD 最大 此时 2 2 2 2 2 21 4 sin 23 64 16 20 t CPDr t PR t t t 等号当2 2t时成立 当2 2 2P时 所求的角CPD 最大 综上 当CPD 最大时点 P的坐标为22 2 10 20 解析 1 根据题意 60 分或以上被认定为满意或非常满意 在频率分布直 方图中 评分在 60 100 的频率为 0 0280 030 0160 004100 78 2 根据频率分布直方图 被调查者非常满意的频率是 1 0 0160 004100 2 5 用样本的频率代替概率 从该市的全体市民中随机抽取1 人 该人非常满意该项目的概率为 1 5 现从中抽取 3 人恰有 2 人非常满意该项目的概率为 2 2 3 1412 55125 PC 3 评分低于 60 分的被调查者中 老年人占 1 3 又从被调查者中按年龄分层抽取9 人 这 9 人中 老年人有3人 非老年人 6 人 随机变量的所有可能取值为0 1 2 02 36 2 9 15 0 36 CC P C 11 36 2 9 181 1 362 CC P C 20 36 2 9 31 2 3612 CC P C 的分布列为 0 1 2 11 p 15 36 1 2 1 12 的数学期望E 15112 012 362123 21 解析 e1ln x fxax fx 是 0 上的增函数等价于0fx 恒成立 令0fx 得 1ln e x x a 令 1ln e x x g x 0 x 以下只需求 g x 的最大值 求导得 1 e1ln x gxx x 令 1 1lnh xx x 2 11 0hx xx h x 是 0 上的减函数 又10h 故 1 是 h x 的唯一零点 当0 1x 0h x 0gx g x 递增 当1 x 0h x 0gx g x 递减 故当1x时 g x 取得极大值且为最大值 1 1 e g 所以 1 e a 即a的取值范围是 1 e 0fx e ln0 x a x x 令 e ln x a Fxx x 0 x 以下证明当 2 2 e a时 F x 的最小值大于 0 求导得 2 1 e1 x a x Fx xx 2 1 1 e x a xx x 当 01x时 0Fx 1F xFe0a 当1x时 2 1a x Fx x e 1 x x a x 令e 1 xx G x a x 12 则e x Gx 2 1 0 1a x 又 2 2 2eG a 2 e2 0 a a 取1 2m且 使 2 e 1 m a m 即 2 2 e 1 e1 a m a 则e 1 m m G m a m 22 ee0 因为20G m G 故 G x 存在唯一零点 01 2x 即 F x 有唯一的极值点且为极小值点 0 1 2x 又 0 00 0 e ln x a F xx x 且 00 0 0 e0 1 x x G x a x 即 00 0 e 1 x x a x 故 00 0 1 ln 1 Fxx x 因为 02 0 0 11 0 1 Fx x x 故 0 F x是 1 2 上的减函数 所以 0 2F xF1ln20 所以0F x 综上 当 2 2 e a时 总有0fx 22 解析 1 直线 l 的参数方程为 3 0 62 1 11 62 xtcost ytsint t 为参数 4sin 2 4 sin 22 4xyy 即 2 2 24xy 故曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 24xy 2 将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 得 2 30tt 显然0 21 2 1 3 l ttt t 1 2 3PAPBt t 2 12121 2 413PAPBt