11.2 常数项级数的审敛法习题11.21. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）解：，而发散，所以原级数发散。（2）解：，所以原级数发散。（3）解：，所以原级数收敛。（4）解：，所以原级数收敛。（5）解：当时，充分大后，所以原级数发散；当时，所以原级数发散；当时，所以原级数收敛。2. 用比较判别法讨论下列正项级数的敛散性：（1）解：，所以原级数收敛。（2）解：，所以原级数发散。（3）解：，所以原级数发散。(4) 解：，所以原级数收敛。（5）解：，所以原级数收敛。（6）解：充分大后，所以原级数发散。（7）解：，所以原级数收敛（8）解：，所以原级数发散。（9）解：，所以原级数收敛。（10）解：，所以原级数发散。（11）解：，所以原级数收敛。（12）解：充分大后，所以原级数收敛。3. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）解：，级数发散。（2）解：，级数收敛。（3）解：，级数收敛。4. 用根值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）解：，级数收敛。（2）解：，级数收敛。（3）解：，级数收敛。(4) 其中均为正数。解：，所以当时级数收敛；时级数发散；时此法失效。5. 判定下列级数的收敛性：（1）解：，级数收敛。（2）解：，级数收敛。(3) 解：,级数发散。（4）解：,级数收敛。（5）解：,级数发散。（6）解：，级数发散。（7）解：，级数发散。（8）解：，级数发散。（9）解：，级数收敛。（10）解：，级数发散。（11）解：，所以当时级数发散；当时级数收敛；当时，原级数为，此时当时，级数收敛，当时，级数发散。（12）解：，所以级数收敛。（13）解：，所以级数发散。（14）解：，所以级数收敛。（15）解：，所以级数收敛。(16) 解：，所以级数收敛。(17) 解：，所以级数收敛。(18) 解：，所以级数收敛。(19) 解：，所以级数收敛。(20) 解：，所以级数发散。（21）解：当时，因为，所以级数收敛。当时，因为，所以级数发散。当时，考虑积分可得此时若，则积分收敛，若，则积分发散。6. 判定下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。（1）解：由莱布尼茨判别法，此级数收敛。取绝对值后是的级数，发散。所以原级数条件收敛。（2）解：因为按比值判别法收敛，所以原级数绝对收敛。（3）解：因为收敛，所以原级数绝对收敛。（4）解：由莱布尼茨判别法，此级数收敛。取绝对值后发散。所以原级数条件收敛。（5）解：，所以原级数发散。（6）解：当时，因为收敛，所以原级数绝对收敛；当时，因为按莱布尼茨判别法收敛，而发散，所以原级数条件收敛；当时，因为不趋于零，所以级数发散。（7）解：因为，而收敛，所以原级数绝对收敛。（8）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而因为，所以发散，所以原级数条件收敛。（9）解：因为，所以原级数绝对收敛。（10）解：因为收敛，所以原级数绝对收敛。（11）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而取绝对值后发散，所以原级数条件收敛。（12）解：因为，所以原级数绝对收敛。（13）解：因为，所以原级数绝对收敛。（14）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而取绝对值后发散，所以原级数条件收敛。（15）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而取绝对值后发散，所以原级数条件收敛。（16）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而取绝对值后当或且时收敛，所以此时原级数绝对收敛；取绝对值后当或且时发散，所以此时原级数条件收敛。（17）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而取绝对值后发散，所以原级数条件收敛。（18）解：因为按莱布尼茨判别法原级数收敛，而取绝对值后发散，所以原级数条件收敛。(19) 解：考察级数，按莱布尼茨判别法此级数收敛，这说明对于原级数来说，有极限，而所以原级数收敛。而原级数取绝对值后发散，所以原级数条件收敛。7. 下列级数中在什么范围内收敛？是绝对收敛还是条件收敛？在什么范围内发散？（1）解：，所以当时，级数发散；当时，级数绝对收敛；当时，级数为，发散；当时，级数为，条件收敛。（2）解：，所以当时，级数发散；当时，级数绝对收敛；当时，级数通项不趋于零，发散。（3）解：，所以当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，级数为，发散；当时，级数为，条件收敛。（4）解：当时，显然对任何，只要不是负整数，级数就绝对收敛；当时，显然对任何，只要不是负整数，级数就条件收敛；当时，显然对任何，级数都发散。(5) 解：.当时，其趋于，级数绝对收敛；当时，其趋于零，级数绝对收敛；当时，级数显然绝对收敛。（6）解：.当时，其趋于，级数绝对收敛；当时，其趋于零，级数绝对收敛；当时，级数显然发散。（7）解：.当时，其小于，级数绝对收敛；当时，其大于，级数发散；当时，显然级数条件收敛。8. 设正项级数和都收敛，证明：级数也收敛。证明：因为正项级数和都收敛，所以使得，所以，于是级数收敛。9. 设级数收敛，且问：级数是否也收敛？试说明理由。解：不一定。例如设就满足收敛，且但发散。10. 若正项级数与都发散，问：下列级数是否发散？（1）（2）解：（1）因为，所以一定发散。(2) 不一定发散。反例如11. 若正项级数收敛，证明：级数亦收敛。反之不成立，举出例子。证明：因为正项级数收敛，所以存在，使得，所以，于是收敛。反之不成立，反例如12. 若证明：级数发散。证明：由此可推出充分大后级数定号且与同阶，所以级数发散。13. 设为两个数列，令那么（1） 若有界，级数绝对收敛，且证明：级数收敛；（2） 若级数与收敛，证明：级数收敛。证明：（1）记则设，则，于是绝对收敛，存在，又显然，所以存在，即级数收敛；（2）因为级数收敛，所以有界，同（1）的证明可得存在。又因为收敛，所以收敛，由此易得存在，进而存在，存在，即级数收敛。14.设收敛，证明：级数收敛的充要条件是级数收敛。证明：，所以级数收敛的充要条件是级数收敛。15.求极限解：因为，所以收敛，有界，所以16.设证明证明：都是绝对收敛，即是它们按柯西乘积相乘的结果。17.证明。证明：易得和都绝对收敛，按柯西乘积，的第项即为所以结论成立。