北京一零一中 2019 2020 学年度第二学期高三数学统考三 一 选择题共 10 小题 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 设集合 A x Z x2 3x 4 6 0 B x ex 2 b 所以 A B 所以角 B 为锐角 所以 cos B 7 3 9 已知 ABC 则 sinA cos B 是 ABC 是直角三角形 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 参考答案 2020 朝阳四月测试 8 D 10 若无穷数列 an 满足 a1 0 当 n N n 2 时 an an 1 max a1 a2 an 1 其中 max a1 a2 an 1 表示 a1 a2 an 1中的最大项 则以下结论 若数列 an 是常数列 则 an 0 n N 若数列 an 是公差 d 0 的等差数列 则 d 1 若存在正整数 T 对任意 n N 都有 an T an 则 a1是数列 an 的最大项 所有正确的结论是 A B C D 参考答案 2019 上海闵行区一模 改编 D 北京一零一中 2019 2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 2 页 共 11 页 二 填空题共 5 小题 11 已知非零向量 a b 的夹角为 3 且 a b b 则 a b 参考答案 2 12 已知 a 0 b 0 若 ax2 b x 8的展开式中 x4项的系数为 70 则 ab 的值为 参考答案 1 由已知可求得 x4的系数为 C4 8a 4b4 因此 a4b4 1 即 ab 1 13 已知圆 x2 y2 mx 1 4 0 与双曲线 y2 4 x2 1 的渐近线相切 则 m 的值为 参考答案 5 14 已知点 M 1 0 N 0 1 若点 P 在函数 y ln x 2 的图像上 则使得 PMN 的面积为 1 的点 P 的个数为 参考答案 3 15 定义 若存在常数 k 使得对定义域 D 内的任意两个 x1 x2 x1 x2 均有 f x1 f x2 6 k x1 x2 1 2成立 则称函数 f x 在定义域 D 上满足 1 2 阶 H OLDER 条件 1 函数 f x 2x 是否满足 1 2 阶 H OLDER 条件 填 是 或 否 2 已知 g x x x 0 满足 1 2 阶 H OLDER 条件 则常数 k 的最小值为 参考答案 1 否 2 1 1 f x1 f x2 2x1 2x2 2 x1 x2 1 2 x1 x2 1 2 对任何常数 k 0 当 x1 x2 k2 4 时 f x1 f x2 2 x1 x2 1 2 x1 x2 1 2 2 k 2 x1 x2 1 2 k x1 x2 1 2 因此 f x 2x 不满足 1 2 阶 H OLDER 条件 2 任给 x1 x2 0 不妨设 x1 x2 设 a x1 x2 则 a 0 则 x 1 x 2 a 6 x 2 a 所以 g x1 g x2 x 1 x 2 x 1 x 26 a x 1 x2 x1 x2 1 2 故 k 1 时 g x 满足 1 2 阶 H OLDER 条件 下面说明 k 1 因 g x g 0 x 0 x x 0 1 2 则 k 1 综上 k 的最小值为 1 三 解答题共 6 小题 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 北京一零一中 2019 2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 3 页 共 11 页 16 已知 an 是公比为 q 的无穷等比数列 其前 n 项和为 Sn 满足 a2 6 是否 存在正整数 k 使得 Sk 1000 若存在 求 k 的最小值 若不存在 说明理由 从 S3 21 a4 24 a5 48 这三个条件中任选一个 补充在上面问题中并作答 参考答案 选择 因为 a2 6 S3 21 所以 q 1 所以 S3 a2 q a2 a2q 6 q 6 6q 21 所以 q 2 或 q 1 2 当 q 2 时 a1 3 Sn 3 1 2n 1 2 3 2n 1 令 Sk 1000 即 2k 1003 3 所以使得 Sk 1000 的正整数 k 的最小值为 9 当 q 1 2 时 a1 12 Sn 12 1 1 2n 1 1 2 24 1 1 2n 令 Sk 1000 即 2k 1000 即 2k 1003 3 所以使得 Sk 1000 的正整数 k 的最小值为 9 当 q 2 时 a1 3 所以 Sn 3 1 2 n 1 2 2 n 1 令 Sk 1000 即 2 k 1001 当 k 为偶数时 2k 1001 所以正整数 k 的最小值为 10 当 k 为奇数时 原不等式无解 所以使得 Sk 2020 的正整数 k 的最小值为 10 选择 因为 a2 6 a5 48 所以 q3 8 所以 q 2 a1 3 Sn 3 1 2n 1 2 3 2n 1 令 Sk 1000 即 2k 1003 3 所以使得 Sk 1000 的正整数 k 的最小值为 9 17 体温是人体健康状况的直接反应 一般认为成年人腋下温度 T 单位 C 平均在 36 C 37 C 之间即为正常体温 超过 37 1 C 即为发热 发热状态下 不同体温可分成以 下三种发热类型 低热 37 1 6 T 6 38 高热 38 40 某位患者因患肺炎发热 于 12 日至 26 日住院治疗 医生根据病情变化 从 14 日开始 以 3 天为一个疗程 分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热 住院期间 患者每天 上午 8 00 服药 护士每天下午 4 00 为患者测量腋下体温记录如下 北京一零一中 2019 2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 4 页 共 11 页 抗生素使用情况没有使用使用 抗生素 A 治疗使用 抗生素 B 治疗 日期12 日13 日14 日15 日16 日17 日18 日19 日 体温 C 38 739 439 740 139 939 238 939 0 抗生素使用情况使用 抗生素 C 治疗没有使用 日期20 日21 日22 日23 日24 日25 日26 日 体温 C 38 438 037 637 136 836 636 3 1 请你计算住院期间该患者体温不低于 39 C 的各天体温平均值 2 在 19 日 23 日这 5 天中 医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一 特殊项目 项目 的检查 记 X 为高热体温下做 项目 检查的天数 试求 X 的分布列 与数学期望 3 抗生素治疗一般在服药后 2 8 个小时就能出现血液浓度的高峰 开始杀灭细菌 达到 消炎退热效果 假设三种抗生素治疗效果相互独立 请依据表中数据 判断哪种抗生素治 疗效果最佳 并说明理由 参考答案 2020 朝阳四月测试 17 1 由表可知 该患者共 6 天的体温不低于 39 C 记平均体温为 x x 1 6 39 4 39 7 40 1 39 9 39 2 39 0 39 55 C 所以 患者体温不低于 39 C 的各天体温平均值为 39 55 C 2 X 的所有可能取值为 0 1 2 P X 0 C3 3C 0 2 C3 5 1 10 P X 1 C2 3C 1 2 C3 5 6 10 3 5 P X 2 C1 3C 2 2 C3 5 3 10 则 X 的分布列为 X012 P 1 10 3 5 3 10 所以 E X 0 1 10 1 3 5 2 3 10 6 5 3 抗生素 C 治疗效果最佳可使用理由 抗生素 B 使用期间先连续两天降温 1 0 C 又回升 0 1 C 抗生素 C 使用期间持续降 温共计 1 4 C 说明 抗生素 C 降温效果最好 故 抗生素 C 治疗效果最佳 抗生素 B 治疗期间平均体温 39 03 C 方差约为 0 0156 抗生素 C 平均体温 38 C 方差约为 0 1067 抗生素 C 治疗期间体温离散程度大 说明存在某个时间节点降温效果 明显 故 抗生素 C 治疗效果最佳 北京一零一中 2019 2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 5 页 共 11 页 抗生素 B 治疗效果最佳可使用理由 自使用 抗生素 B 开始治疗后 体温才开始稳定下降 且使用 抗生素 B 治疗当天共降 温 0 7 C 是单日降温效果最好的一天 故 抗生素 B 治疗效果最佳 18 如图 1 DAC 和 ABC 都是等腰直角三角 形 其中 AB BC AC CD 2 现将 DAC 沿 AC 折起到 VAC 的位置 如图 2 M 为 VA 的中点 过 CM 的平面 CMN 与直 线 AB 平行 且与直线 VB 交于点 N 1 求 VN BN 的值 2 当平面 VAC 平面 ABC 时 求直线 VB 与平面 MBC 所成角的正弦值 在平面 VAC 内是否存在一点 P 使得 NP 平面 MBC 若存在 求线段 CP 的长度 若 不存在 说明理由 参考答案 1 因为 AB 平面 CMN 平面 CMN 平面 VAB MN 所以 AB MN 因为 M 为 VA 的中点 所以 N 为 VB 的中点 所以 VN BN 1 2 在等腰直角三角形 VAC 中 因为 AC VC 2 所以 VC AC 又平面 VAC 平面 ABC 平面 VAC 平面 ABC AC 所以 VC 平面 ABC 在平面 ABC 内过点 C 做 y 轴垂直于 AC 则 VC y 轴 VC AC 如图建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 V 0 0 2 B 1 1 0 M 1 0 1 VB 1 1 2 CM 1 0 1 CB 1 1 0 设平面 MBC 的法向量为 n x y z 则 n CM x z 0 n CB x y 0 令 x 1 则 y 1 z 1 所以 n 1 1 1 设直线 VB 与平面 MBC 所成角为 则 sin cos n VB n VB n VB 2 3 北京一零一中 2019 2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 6 页 共 11 页 若在平面 VAC 内存在一点 P NP 平面 MBC 设 P x0 0 z0 则 NP n 因为 N 1 2 1 2 1 所以 NP x0 1 2 1 2 z0 1 所以 x0 1 2 1 1 2 1 z0 1 1 所以 x0 1 z0 1 2 所以 存在点 P 1 0 1 2 CP 12 1 2 2 5 2 19 已知椭圆 C x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的离心率为 1 2 过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆交 于 A B 两点 当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 3 1 求椭圆 C 的标准方程 2 当直线 l 与 x 轴不垂直时 在 x 轴上是否存在一点 P 异于点 F 使 x 轴上任意点到直 线 PA PB 的距离均相等 若存在 求 P 点坐标 若不存在 请说明理由 参考答案 2020 朝阳四月测试 19 1 由题意得 2b2 a 3 c a 1 2 a2 b2 c2 解得 a 2 b 3 c 1 所以椭圆的标准方程为 x2 4 y2 3 1 2 依题意 若直线 l 的斜率不为零 可设直线 l x my 1 m 0 A x1 y1 B x2 y2 假设存在点 P 设 P x0 0 由题设 x0 1 且 x0 x1 x0 x2 设直线 PA PB 的斜率分别为 k1 k2 则 k1 y1 x1 x0 k2 y2 x2 x0 因为 A x1 y1 B x2 y2 在 x my 1 上 故 x1 my1 1 x2 my2 1 而 x 轴上任意点到直线 PA PB 距离均相等等价于 PF 平分 APB 继而等价于 k1 k2 0 则 k1 k2 y1 x1 x0 y2 x2 x0 x1y2 x2y1 x0 y1 y2 x1 x0 x2 x0 2my1y2 1 x0 y1 y2 x1 x0 x2 x0 0 联立 x2 4 y2 3 1 x my 1 消去 x 得 3m2 4 y2 6my 9 0 有 y1 y2 6m 3m2 4 y1y2 9 3m2 4 则 k1 k2 0