第三讲巧求表面积 我们在小学里遇到的立体图形主要是长方体和正方体 他们的特点都是可以从六个方向去看 表面积是上下 左右和前后六个面的平面图形面积的总和 所以 我们在解决此类问题时常常利用这种方法和思路 回顾基本知识 长方体的表面积 ab ah bh 2即 长 宽 长 高 宽 高 2正方体的表面积 6a2即棱长 棱长 6 回顾基本知识 长方体的体积正方体的体积 长 宽 高 棱长 棱长 棱长 简单应用 1 一个长方体的长 宽 高分别是6 5 4厘米 它的表面积是平方厘米 2 如果一个正方体的棱长是5厘米 那么它的表面积是平方厘米 3 一个长方体的长为10厘米 宽为8厘米 表面积是376平方厘米 它的高是厘米 4 一个正方体的表面积是294平方厘米 它的棱长是厘米 148 150 6 7 简单应用 1 长方体的长 宽 高分别是20 15 10厘米 它的体积是立方厘米 2 长方体的长为6厘米 宽为4厘米 体积是96立方厘米 它的高是厘米 3 一个长方体 底面是一个正方形 高为3厘米 体积是108立方厘米 它的表面积是平方厘米 3000 4 144 应用举例 一 简单组合 例1 如图 在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体 求这个立体图形的表面积 我们放一放试试 解法 一 将棱长为4分米的小正方体放上后 总的表面积减少了小正方体的两个面 所以 这个立体图形的表面积是5 5 6 4 4 6 4 4 2 150 96 32 214 平方分米 解法 二 我们从上下 左右和前后六个方向看这个立体图形可知 上下方向 是大正方体的两个底面 侧面 大小正方体的四个侧面 解 上下方向 5 5 2 50侧面 5 5 4 4 4 4 100 64 164所以 这个立体图形的表面积是50 164 214 上面 下面 左面 右面 前面 后面 应用举例 三 不规则组合 例3 把19个棱长为1厘米的正方体重叠咋一起 按右图的方式拼成一个立体图形 求这个立体图形的表面积 前后面 左右面 我们还从上下 左右和前后六个方向观察这个立体图形 解 上下面的面积都是9平方厘米 左右面的面积都是8平方厘米 前后面的面积都是10平方厘米 因此 这个立体图形的表面积是 9 8 10 2 54 平方厘米 应用举例 四 染色问题 如图 用一些小正方体摆成一个长方体 长方体的长宽高分别是10 8 7个小正方体的棱长 我们将这个长方体的表面刷上艳丽的红色 问 散开后小正方体的表面上有1个面 2个面 3个面被染成红色的各有多少个 有没有没有被染色的小正方体吗 有4个面以上被染色的小正方体吗 解 染3个面的有8个小正方体染2个面的小正方体有 10 2 4 8 2 4 7 2 4 32 24 20 76 个 染1个面的小正方体上下 10 2 8 2 2 96左右 8 2 7 2 2 60前后 10 2 7 2 2 80共96 60 80 236 个 你还有更巧妙地算法码 拓展练习 如果重叠拼成的长方体的棱长分别是2002 1002 502呢 解 染3个面的小正方体有8个 染2个面的小正方体有 2002 1002 502 6 4 14000 个 染1个面的小正方体有 2000 1000 2000 500 1000 500 2 2000000 1000000 500000 2 3500000 2 7000000 个 你能找到一般性的规律吗 棱长分别为a b h个小正方体的棱长的长方体表面染色后 染3个面的小正方体的个数是8个 染2个面的小正方体的个数是 a 2 b 2 h 2 4或 a b h 6 4染1个面的小正方体的个数是 a 2 b 2 a 2 h 2 b 2 h 2 2没有被染色的小正方体的个数是 a 2 b 2 h 2 应用举例 二 镂空 例2 下图是一个棱长为4厘米的正方体 在正方体的上表面的正中向下挖一个棱长为2厘米的正方体小洞 接着在小洞的底面正中挖一个棱长为1厘米的正方体小洞 第三个正方体小洞的挖法与前两个相同 棱长为0 5厘米 那么最后得到的立体图形的表面积是多少 你能想出从六个方向的面的形状吗 上下 两个边长为4厘米的正方形的面积侧面 外边长为4厘米的4个正方形的面积边长为2厘米的4个正方形的面积边长为1厘米的4个正方形的面积边长为0 5厘米的4个正方形的面积 内 应用举例 五 简单立体图形的拆分后的表面积变化 如图 将一个棱长为1米的正方体沿水平方向锯成两片 问1 这两个长方体的表面积的和是多少平方米 2 比原来的正方体的表面积增加了多少 3 如果锯成3片呢 4 你发现了什么规律每锯一次 表面积的和就增加与锯面平行的两个表面的面积 应用举例 五 简单立体图形的拆分后的表面积变化 例5 一个正方体形状的木块 棱长为1米 沿着水平方向将它锯成3片 每片又按任意尺寸锯成4条 每条又按任意尺寸锯成5小块 共得到大大小小的长方体块 问 这些长方体的表面积的和是多少平方米 解 这个正方体的每个表面面积都是1平方米 每锯一次 就增加两个1平方米的表面 一共锯了 2 3 4 9 次 共增加了1 2 9 18 平方米 的表面 因此 这大大小小的60块的小长方体的表面积的和是6 18 24 平方米 答 这60块长方体的表面积的和为24平方米 如果被锯的不是正方体而是长方体又会怎么样 我们看下面的问题 应用举例 五 简单立体图形的拆分后的表面积变化 如图 长方体的长为10厘米 宽为8厘米 高为5厘米 1 如果沿水平方向将它锯成两块 两块的表面积一共是多少平方厘米 2 如果沿竖直方向锯成两块又会是多少 我们看看三种锯法的结果长10厘米宽8厘米高5厘米 1 水平2 竖直 平行于前后面3 竖直 平行于左右面 1 增加了两个上下面 2 增加了两个前后面 3 增加了两个左右面 也就是每切割一次 就会增加与切割面平行的两个表面 写出解答过程 解 原来长方体的表面积是 10 8 10 5 8 5 2 340 平方厘米 1 沿水平方向锯成两块后的表面积的和是340 10 8 2340 160 500 平方厘米 2 沿竖直平行于前后面锯成两块后的表面积的和是340 10 5 2 440 平方厘米 3 沿竖直平行于左右面锯成两块后的表面积的和是340 8 5 2 420 平方厘米 应用举例 六 简单立体图形组合后的表面积变化 将两个边长为1的正方体拼接组合成一个长方体后 表面积是多少 如果是3个小正方体拼合呢 4个 8个呢 对于8个小正方体 你认为拼成怎样的立体图形的表面积最小 我们发现 1 拼合后表面积会减少 2 拼合成正方体时 表面积最少 你能应用刚才发现的规律解答下面的问题吗 1 用64个棱长为1厘米的正方体摆成一个立体图形 表面积最少是多少 解 体积一定时 摆成正方体时表面积最少 因为64 4 4 4所以它们可以摆成一个棱长为4厘米的大正方体 这个立体图形的表面积最少是4 4 6 96 平方厘米 你能理解课本第157页的两个例子吗 例6 课本157页例5 有1993个棱长为1厘米的正方体 要摆成一个大长方体 问表面积最少是多少 它能够摆成一个正方体吗 1993能分解成几个数的积吗 例7 157页例6 用12个长5厘米 宽4厘米 高3厘米的长方体码放成一个表面积最少的长方体 码放后得到的长方体的表面积是多少 分析 这12个长方体的总体积是5 4 3 12 720 立方厘米 720不能摆成一个正方体 只能让长宽高尽可能接近 因为720 2 2 2 2 3 3 5 8 9 10而且8 4 2 9 3 3 10 5 2 所以码放后得到的长方体的表面积是 8 9 8 10 9 10 2 484 平方厘米 本课小结 这一课我们主要探讨了与长方体正方体表面积有关的问题 我们一共讨论了六个方面 一 简单组合 二 镂空 三 不规则组合 四 染色问题 五 简单立体图形的拆分后的表面积变化规律 六 简单立体图形组合后的表面积变化规律 从六个方向去观察解答 分类计算 五 简单立体图形的拆分后的表面积变化规律每切割一次 就会增加与切割面平行的两个表面 六 简单立体图形组合后的表面积变化规律1 拼合后表面积会减少 2 拼合成正方体时 表面积最少 解题思路和方法 1 长方体和正方体的特点是可以从上下 左右 前后六个方向去看 特别是求表面积时 就是上 下 左 右 前 后六个方向 特殊事只需要考虑上左前三个方向平面图形的面积 2 求拆分 或拼合 后图形的表面积 关键要弄清楚面积的变化 3 有关长方体 正方体表面涂色切分后计数 要注意从顶点 棱 面几个方面考虑 4 要从整体上多角度 全方位地观察和分析图形 探究整体和局部以及与题目所求的关系 然后从局部入手一步一步地的解答