第一章导数及其应用1 7 1定积分在几何中的应用 1 定积分的几何意义 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 S 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 一 复习引入 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 且F x f x 那么 2 微积分基本定理 类型1 求由一条曲线y f x 和直线x a x b a b 及x轴所围成平面图形的面积S 1 几种典型的平面图形面积的计算 二 新课讲解 类型2 由两条曲线y f x 和y g x 直线x a x b a b 所围成平面图形的面积S 例题讲解 分析 首先画出草图 从图中可以看出 所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差 进而可以用定积分求面积s 为了确定出被积函数和积分的上 下限 我们需要求出两条曲线的交点的横坐标 解 作出y2 x y x2的图象如图所示 即两曲线的交点为 0 0 1 1 1 作出示意图 弄清相对位置关系 2 求交点坐标 确定图形范围 积分的上限 下限 3 写出平面图形的定积分表达式 2 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 4 运用微积分基本定理计算定积分 求出面积 例2 计算由曲线直线y x 4以及x轴围成图形的面积 解 作出y x 4 的图象如图所示 解方程组 得 直线y x 4与交点为 8 4 直线y x 4与x轴的交点为 4 0 因此 所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差 本题还有其他解法吗 另解1 将所求平面图形的面积分割成左右两个部分 还需要把函数y x 4变形为x y 4 函数变形为 另解2 将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差 因此取y为积分变量 思考 将曲线沿x轴旋转 与直线相交于一点 求曲线与直线围成的面积 解法1 解法2 思考 将取y为积分变量 把函数y x 4变形为x y 4 函数变形为 1 思想方法 数形结合及转化 2 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 1 作出示意图 弄清相对位置关系 2 求交点坐标 确定图形范围 积分的上限 下限 3 写出平面图形的定积分表达式 4 运用微积分基本定理计算定积分 求出面积 课堂小结 练习1 求抛物线y x2 1 直线x 2 y 0所围成的图形的面积 解 如图 由x2 1 0得到抛物线与x轴的交点坐标是 1 0 1 0 所求面积如图阴影所示 所以 课堂练习 练习2 求抛物线y x2 2与直线y 3x和x 0所围成的图形的面积 解