70 习 题 4 4 复合函数求导法则及其应用 习 题 4 4 复合函数求导法则及其应用 求下列函数的导数 yxx 21 22 yx x esin 2 3 y x 1 1 3 y x x ln yx sin 3 yx cos yxxx 11ln y x arcsin e 2 2 2 1 ln x xy y xx 1 2 22 sin y x xx 1 1 2 2 ln y x x 1 2 csc y xx 2 21 3 31 2 3 3 4 y x e sin2 y x ax x ax 22 22 解解 1 14 12 2 12 12 2 222 xxxxxxxy 2 3sin23cos3 3sin 3 sin 222 xxexexey xxx 3 2 3 323 2 3 3 1 2 3 1 1 2 1 xxxxy 4 2 1 2 2 1 ln2 ln1ln ln2 1 x x x x x x x x y 5 3233 cos3 cos xxxxy 6 x x xxy 2 sin sin 71 7 1 1 1 211 xxx y xxx 112 1 212 1 1 x xx xx 11 2 1 1 xx x xx 8 22 22 22 e 2 e 1 e 1 e xx xx x y 1 2 2 2 x e x 9 4 42 4 1 1 ln 1 ln 2 1 x yxx xx 4 4 22 1 x x x 10 2 23 2 2sin 2sin xx y xx 32 sin2 cos4 2 xx xx 11 2222 22 1ln 1 1ln 1 1 xxxx xx y xx 2 3 22 222 1 21 ln1 ln 1 2 xx xxxx 12 22 2 1 csc 1 csc 1 csc xxxx y x 22 2 2 2 1 cotcsc 2 1csc 2 1csc 1csc xxx xx x x 2222 3 2 2 1csccsccot 1csc xxxx x 13 3234 23 2131 y xx 45 232 34 11 2 21 4 3 31 9 34 xxxx 45 223 34 827 21 31 34 xxxx 14 2 sin2 e sin x yx 2 sin sin2 x x e 72 15 22 22 x axx y ax 22 22 22223 1 1 2 31 2 x axx ax axax 42242 3 22 2 23 xa xaa ax 求下列函数的导数 yx lnsin cotln cscxxy a x axaxyarcsin 2 1 222 yxxa ln 22 yx xaaxxa 1 2 22222 ln 解解 1 1 sin cot sin yxx x 2 csccot csccot xx y xx 2 cot csc csc csc csccot xxx x xx 3 22222 1 arcsin 2 x yxaxxaxa a 222 222 1 11 2 22 1 x a axxa ax x a 22 2 22 0 0 axa x a ax 1 ux 也是可微函数 利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分 f u g u h u f u g u h u h u g u log ug uh tanarc uh uf 1 22 fuhu 解解 1 d f u g u h u fu g u h uf u g u h uf u g u h u du fu g u h uf u g u h uf u g u h ux dx 82 2 f u g u d h u 2 fu g uf u g u h uf u g u h u du h u 2 fu g u h uf u g u h uf u g u h u x dx h u 3 g u d h u ln ln ln g uh ug uh u edueg uh udu ln g u h u h ug ug uh ux dx h u 4 log h u dg u 2 ln ln ln ln ln ln ln g ug uh ug uh u ddu h uh u 2 ln ln ln h u g uh uh u g ug u x dx h u g uh u 5 arctan f u d h u 222 1 f u h ufu h uf u h u dux dx fuh u f u h u 6 22 1 d fuh u 22 33 2222 22 2 fuh u f u fuh u h u dux dx fuh ufuh u