山东省武城县高三数学（人教版）必修五知识方法回顾(二) Word版（含答案）www.ks5u.com必修五知识方法回顾(二)数列一一、基础知识（一）数列的定义（1）按照的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫.（2）数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集|1,2，3，n|为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.数列的分类3.通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子：来表示，那么这个公式叫做这个数列的.4.递推公式如果已知数列的（或前几项），且从第二项（或某一项）开始任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的递推公式.5.数列的前项和及其与通项的关系（1）；（2）.注意：利用与的关系求时，一定要验证“”的情况.参考答案一定顺序排列首项有限无限通项公式第一项（二）等差数列（）等差数列的有关概念1.定义一般性，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.2.通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是.3.等差中项如果，那么叫做与的等差中项.4.前项和公式设等差数列的公差为，则其前项和或.（）等差数列的性质1.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：.（2）若是等差数列，且，则.（3）若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为.（4）若，是等差数列，则（是常数）仍是等差数列.（5）若是等差数列，则，（组成公差为的等差数列.2.与等差数列各项的和有关的性质（1）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，公差是的公差的.（2）分别为的前项，前项，前项的和，则成等差数列.（3）关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为，则，.若项数为，则，.（4）若两个差数列数、的前项和分别为、，则.参考答案第二项公差，（三）等比数列1.等比数列的有关概念（1）定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示.（2）通项公式：如果等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式是.（3）等比中项：如果三个数，成等比数列，则叫做和的，且，即.（4）前项和公式：2.等比数列的性质已知等比数列的前项和为.（1）数列，（是等比数列），等也是等比数列.（2）数列，仍是等比数列.（3）若，则特别地，若，则（4）（5）当的公比（或且为奇数）时，数列，是等比数列.（6）当是偶数时，；当是奇数时，参考答案：第二项公比等比中项二、基本方法方法1利用与的关系求通项利用求通项时，要注意检验的情况.方法2利用递推关系求数列的通项已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.1.形如时，用累加法求解.2.形如时，用累乘法求解.3.形如时，构造等差数列求解，形如时，构造等比数列求解.例1根据下列条件，确定数列的通项公式（1）；（2），；（3），.方法3利用通项公式求数列最大（小）项的常用方法求数列最大项、最小项的常用方法：（1）增减性法：利用数列的增减性求解.（2）转折项法：利用不等式组求最大项；利用不等式组求最小项.例2已知数列的通项公式是，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.方法4等差数列的基本运算等差数列的基本运算方法（1）等差数列可以由首项和公差确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕和进行.（2）对于等差数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程（组）求出，.如果再给出第三个条件，就可以完成，的“知三求二”问题.例3等差数列的前项和为，若，则等于（）A.8B.10C.12D.14方法5等差数列前项和的最值问题求等差数列的前项和的最值的方法：例4等差数列中，设为其前项和，且，则当为多少时，最大？.方法6等比数列的基本运算等比数列的基本运算方法（1）等比数列可以由首项和公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕和进行.（2）对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程（组）求出，.如果再给出第三个条件就可以完成的“知三求二”问题.例5在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是方法7等差、等比数列综合问题的解法（1）在解决等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果.（2）等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即为等差数列（且）为等比数列；为正项等比数列且）为等差数列.例6数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则.三、习题归类跟踪1.已知数列的前项和满足：，且，那么（）A.1B.9C.10D.552.设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）A.B.C.D.3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）A.B.C.D.4.设等差数列的前项和为，则（）A.3B.4C.5D.65.已知等比数列满足，则（）A.21B.42C.63D.846.等比数列的前项和为，已知，则（）A.B.C.D.7.等比数列中，则数列的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.38.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”，现有定义在上的如下函数：；.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A.B.C.D.9.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（）A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列10.设是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则11.若数列的前项和，则的通项公式是12.若等差数列满足，则当时，的前项和最大.13.若等比数列的各项均为正数，且，则14.在正项等比数列中，则的最小值是15.设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值.16.在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.17.设数列的前项和为，已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.18.设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且（为常数），令（），求数列的前项和.19.已知数列满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明.高一数学必修五知识方法回顾(二)例1解析（1）因为，所以，所以.当时，符合上式，所以.（2）因为，所以，由累乘法可得.又符合上式，.（3）因为，所以，所以，所以数列为等比数列，公比，又，所以，所以.例2解析解法一：，当时，即；当时，即；当时，即，该数列中有最大项，为第9、10项，且.解法二：根据题意，令，即解得.又，或，该数列中有最大项，为第9、10项，且.例3解析：，.，.故选C.例4解析：解法一：由，可得，即.从而，因为，所以.故当时，最大.解法二：由解法一可知，.要使最大，则有即解得，故当时，最大.解法三：由，可得，即，故，又由，可知，所以，所以当时，最大.例5解析：由，两边都除以，得，即，.，.答案：4例6解析：设的公差为，则，由题意可得，公比.答案：1三、习题归类跟踪1.A解析：，故选A.2.C解析：为递减数列，可知也为递减数列，又 ，故，故选C.3.B解析：由，得，整理得，又，又，故选B.4.C解法一：，公差，由.得由得，代入可得.解法二：数列为等差数列，且前项和为，数列也为等差数列，即，解得.经检验为原方程的解，故选C.5.B解析：设的公比为，由，得，解得（负值舍去）.6.C解析：由已知条件及得，设数列的公比为，则.所以，得，故选C.7.C解析：由题意知，数列的前8项和等于.故选C.8.C解析：验证，为“保等比数列函数”，故选C.9.C解析：因为，所以是关于的二次函数，当时，有最大值，即数列有最大项，故命题正确，若有最大项，即对于，有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即，故命题正确.而若，则数列为递增数列，此时，故C命题错误.若对于任意的，均有，则，且对于恒成立，即命题D正确，故选C.10. C解析：因为为等差数列，所以，当时，得公差，即，故选C.11.解析：由得：当时，当时，又时，12.答案：8解析：根据题意知，即.又，当时，的前项和最大.13.答案：50解析：因为等比数列中，所以由，可解得.所以14.答案：20解析：设等比数列的公比为，则由条件，得，据知，从而，当且仅当，即时取等号，故的最小值为20.15.解析：（1）由已知，有，即.从而，.又因为成等差数列，即.所以，解得.所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.（2）由（1）得，所以由，得，即.因为，所以.于是，使成立的的最小值为10.16.解析（1）因为是一个等差数列，所以，.设数列的公差为，则，故.由得，即.所以.（2）对，若，则因此，故得，于是17.解析：（1）因为，所以，故，当时，此时，即，所以（2）因为，所以，当时，.所以；当时，所以，两式相减，得所以.经检验，时也适合.综上可得18.解析：（1）设等差数列的公差为.由，得解得，因此（2）由题意知：所以时，故所以则，两式相减得.