2 4正态分布 我们知道 离散型随机变量最多取可列个不同值 它等于某一特定实数的概率 0 人们感兴趣的是它取不同值的概率 即研究其分布列 引入 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值 所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述 而连续型随机变量的概率分布规律用密度曲线描述 思考 连续型随机变量的概率分布规律又怎样研究呢 你知道高尔顿板试验吗 原则 新课探究 返回 我们以球槽的编号为横坐标 以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标 可以画出频率分布直方图 1 2 3 4 5 6 球槽编号 频率组距 新课探究 7 8 9 10 11 试验 思考 球槽数增加 重复次数增加 频率分布直方图怎么变化 频率组距 随着重复次数的增加 球槽数增加直方图的形状会越来越像一条 钟形 曲线 球槽编号 新课探究 这条曲线 就是或近似地是 下面函数的图象 正态分布密度曲线定义 易知x落在区间 a b 的概率为 x y 该区间所夹面积 m的意义 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 x 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度 s的意义 正态曲线的函数表示式 m 例1 下列函数是正态密度函数的是 A B C D B 正态曲线的性质 具有两头低 中间高 左右对称的基本特征 1 曲线在x轴的上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 3 曲线在x 处达到峰值 最高点 4 曲线与x轴之间的面积为1 0 5 1 0 1 若固定 随值的变化而沿x轴平移 故称为位置参数 3 正态曲线的性质 均数相等 方差不等的正态分布图示 均数相等 方差不等的正态分布图示 1 0 若固定 大时 曲线矮而胖 小时 曲线瘦而高 故称形状参数 3 正态曲线的性质 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 3 正态曲线的性质 正态曲线下的面积规律 X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 对称区域面积相等 S X S X S X 正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等 S x1 x2 x1 x2x2x1 S x1 x2 S x2 x1 4 特殊区间的概率 若X N 则对于任何实数a 0 概率为如图中的阴影部分的面积 对于固定的和a而言 该面积随着的减少而变大 这说明越小 落在区间的概率越大 即X集中在周围概率越大 特别地有 我们从上图看到 正态总体在以外取值的概率只有4 6 在以外取值的概率只有0 3 由于这些概率值很小 一般不超过5 通常称这些情况发生为小概率事件 例在某次数学考试中 考生的成绩服从一个正态分布 即 N 90 100 1 试求考试成绩位于区间 70 110 上的概率是多少 2 若这次考试共有2000名考生 试估计考试成绩在 80 100 间的考生大约有多少人 2 已知X N 0 1 则X在区间内取值的概率等于 A 0 9544B 0 0456C 0 9772D 0 02283 设连续型随机变量X N 0 1 则 4 若X N 5 1 求P 6 X 7 D 0 5 0 9544