黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学12月月考试题 文一、选择题：共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1、若全集，集合，则如图阴影部分所表示的集合为A.B. C.D.2、已知（为虚数单位）,则实数等于（ ） A. B. C. D.3、已知函数，则（ ）A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数4、是单位向量，“”是“的夹角为钝角”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5、已知圆的圆心在坐标轴上，且经过点及椭圆的两个顶点，则该圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 6、古代数学著作九章算术有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）A6天B7天C8天D9天7、过点的直线，将圆形区域分两部分，使.这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）A. B. C. D.8、若，则（ ）ABC D9、已知是双曲线的左右焦点，是右支上的动点， 垂直于 的平分线，垂足为，则点的轨迹是（ ）A、抛物线弧 B、双曲线弧 C、椭圆弧 D、圆弧10、已知、是球的球面上三点,三棱锥的高为,且, , , 则球的表面积为( )A. B. C. D.11、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线在第一象限内与交于点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B. C. D. 12函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是( )A B C D二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13、已知实数满足，则的最小值等于 14、已知椭圆的左右焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的 倍。15、已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则 16如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点给出下列命题：存在点，使得/平面；对于任意的点，平面平面；存在点，使得平面；对于任意的点，四棱锥的体积均不变.其中正确命题的序号是_.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17（本题满分12分）在锐角，中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围。18、（本题满分12分）已知数列的前项和为，点（）是曲线上的点数列 是等比数列，且满足（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和19（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，分别为，的中点，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积20、已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，直线与直线（为坐标原点）垂直，且与交于两点（1）求的方程；（2）求的面积的最大值21（本小题满分12分）设，函数（1）讨论的单调性 （2）若，证明：22（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知两点，（1）求以为直径的圆的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）若直线与圆相交于，两点，圆的圆心为，求的面积23、（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，不等式的解集为.（1） 求；（2） 记集合的最大元素为，若正数满足，求证：.2017级高三学年12月月考答案1、 选择题： DCABC CABDC CD2、 填空题: 13、5 14、 15、4 16、三、解答题:17、（1）;（2）18、（1）（2）当为奇数时，；当为偶数时，19、【解析】（1）因为是的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，（2分）所以，所以因为底面，平面，所以，又，所以平面，（4分）因为平面，所以，因为，分别为，的中点，所以，所以，因为，所以平面（6分）（2）因为为的中点，所以，（9分）因为，所以，（11分）所以，即三棱锥的体积为（12分）20、（1）由题意可得， ，故的方程为.（2）联立，得， ，又在第一象限，.故可设的方程为.联立，得，设，则， ， ，又到直线的距离为，则的面积，当且仅当，即，满足，故的面积的最大值为.21、（1），定义域是又，当时，在单调递减；当时，在递增，在递减，（2）时，要证，问题转化为证明，整理得：恒成立，令，故在递减，在递增，故，故存在，使得，故当或时，递增，当时，递减，故的最小值是或，由，得，故，故时，原不等式成立22. 解（1）设为圆上任意一点，则，在中，即.3分，圆的直角坐标方程为.5分（2）作于，到直线的距离，在中，的面积为10分23、 三式相加得，所以得证。- 10 -