第一章随机事件与概率 二 本章要点 了解概率论中的一些基本概念 随机试验 样本点 样本空间 事件的关系和运算 了解概率的统计定义和 古典概型 了解概率的公理化定义及相关性质 掌握古 典概型中概率的计算方法 五 条件概率与事件的独立性 1 条件概率 引例 某家电商店库存有甲 乙两联营厂生产的相同牌号的 冰箱台 甲厂生产的台中有台次品 乙厂生产的 台中有台是次品 今工商质检队随机地从库存的 冰箱中抽检一台 那么抽检到的台是次品 记为事件 的概率有多大 转变为在事件发生的前提下 增加了一个附带条件 由古典概率的计算 知 若商店有意让质检队从甲厂生产的产品中抽检台 那 么这台是次品的概率又是多少 容易得到 此时的概率为 注意到这两个概率是不同的 想想为什么 从甲厂生产的产品中抽取台 记为事件 则问题 即在 抽到的产品是甲厂生产 的条件下 求事件发生 注意到 的概率 如此概率称为条件概率 记为 从而有关系 下面就几何概率 验证上式的正确性 设样本空间是某个区域 每个样本点出现的可能性 相同 则由几何概率的计算公式得 在事件发生的前提下 样本空间从缩小到 事 件发生的概率为 由此得到 定义给定一个随机试验 是相应的样本空间 对于 任意两个事件 其中 称 为在已知事件发生的条件下 事件的条件概率 可以验证 条件概率 满足概率公理化定义中 的条公理 例21某建筑物按设计要求使用寿命超过年的概率为 超过年的概率为 该建筑物使用寿命超过 年后 它将在年内倒塌的概率有多大 解设事件表示 该建筑物使用寿命超过年 事件 表示 该建筑物使用寿命超过年 由题意 得 又因为 故所求的 条件概率为 例22某袋中有红球6个 白球4个 取二次球 每次取一 解记分别表示第一 第二次取红球的事件 由条 注意到 此时且 个 求在第一次取到红球的条件下 第二次也取到红球 的概率 不放回 件在第一次取红球的条件下第二次取红球的概率为 由 得 设为事件 且由条件概率公式 变形后有 2 乘法公式 进一步地有 设为事件 则 例23 机遇问题 解以表示第人摸到奖券这一事件 则 由乘法公式得 四个人摸到的概率 设有十人摸一张有奖的奖券 求第 第四人摸到的事件为 例23设袋中有个红球和个白球 每次随机地从袋 的球 共取了次 试求次取到的都是红球的概率 解设事件表示第次取到的是红球 则 中取球 然后把原球放进 再放进个与取出的球同色 所以 独立的意义 问题的引出 设是随机试验 是相应的样本空间 是两个事件 在前面的众多例子中 我们看到 在一 般情况下 事件的发生都会对事件的发生产生影响 但某些情况下 事件的发生与的发生没有任何影响 用数学公式来反映的话即为 2 随机事件的独立性 例24一袋中装有个4白球 2个黑球 从中有放回取两次 解以表示第一次取到的是白球 表示第二次取到的 又有条件概率公式 每次取一个 求在第一次取到的是白球的条件下 第二次 取到的也是白球的概率 也是白球 则有 即 上式表明 事件的发生对事件的发生没有任何影响 再由条件概率公式 实际上 由于该问题是一个放回抽样问题 常识告诉我们 事件不应该对事件产生影响 由上式 和前式相比较 有 为此 我们引入下面概念 定义设为事件 且满足 则称事件是独立的 独立性 定理如果 件是 则事件独立的充分必要条 定理下列个命题是等价的 事件与相互独立 事件与相互独立 事件与相互独立 事件与相互独立 注意该定理的意义 定义设为事件组 且任取有 则称是相互独立的 当时 事件组独立的含义是 当 成立 则称事件组是两两独立的 例25某项工作交由三个人独立完成 设这三人完成的 解设分别表示第一 第二 第三人完成该工 再设事件表示工作被完成 则因 又 概率分别为求该项工作被完成的概率 作 则 所以 所以 注意求解该类题的一般方法 例26已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为 解事件 混合后的血清中含有肝炎病毒 等价于 100个 且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的 今混合100个人 的血清 试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率 人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒 设事件表 则所求概率为 示 第个人的血清中含有肝炎病毒 即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为0 33 此例说明 小概率事件在多次的重复试验中会有较大 可能出现 3 独立性在可靠性问题中的应用 可靠性问题是系统设计 产品质量控制中的一类重要 问题 在以下讨论中 假设各元件是否能正常工作是相互独 立的 解设表示各部件正常 靠度为 因此系统的可靠度为 例27设一个系统由个元件串联而成 第个元件的可 试求这个串联系统的可靠度 表示系统正常 则系统正常等价于每个部件正常 这样的问题称为串联系统问题 例28设某台设备由六部件组成 已知该设备出故障 解设表示各部件正常 表示设备正常 又 每个部件都出故障 又 每个部件工作出故障的可能性 为求设备正常工作的概率 则有 该问题称为并联系统问题 例29设一个系统由个元件组成 其连接方式如图所 示 试求这个混合系统的可靠度 解元件组成一个并联系统 相应的可靠度为 该系统与元件组成一个串联系统 此时可靠度为 最后与元件构成并联系统 故相应的可靠度为 贝努利试验 目标是相互独立的 则称这个试验为贝努利试验 相应的数学模型称为贝努 4 贝努利概型和二项概率 甲 乙 丙名射手向同一目标射击 把每个射手的 射击看做是一个试验 共有个试验 假定每个射手射中 假定个试验的试验结果是相互独 立的 便称这个试验相互独立 如果在次试验中 我们只关心某个事件是否发生 利概型 通常记 则 如果把贝努利试验独立地重复做次 这个试验合在一 起称为重贝努利概型 设事件表示 重贝努利试验中事件恰好发生次 在指定的次试验中发生而其余的为的概率为 注意到 这样的指定方式总共有个 所以所求概率 为 又因为这样的概率仅和数有关 因而上式常常简记 为 通常又称上式为二项概率 例30抛起一枚均匀的硬币次 试求恰出现次正面向 上的概率 解此时 由公式 得 例31设某人开车回家 途经6个道口 已知在每个道口 解此为的二项概率 由公式 得 1 2 遇红灯的概率为0 4 求 1 恰好遇到4个红灯的概率 2 至少遇到二个红灯的概率 例32某小区有10部电梯 每部电梯发生故障的概率为 解此问题是的二项概率 以表示在 0 2 求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率 同一时刻电梯发生故障的台数 则问题为求概率 由公式 得 该问题可以进一步延伸为 某小区有200部电梯 每部 电梯发生故障的概率为0 02 电梯发生故障时 物业管理 部门需要派出一名维修工人进行修理 要保证电梯发生 故障时 物业管理部门一定有维修工人可以派遣 则一 个最可靠的方法是 为每一部电梯都安排一个维修人员 但实际上 没有一个物业管理部门会这样做 现在的问题 是 如果我们要求以95 的把握保证当电梯发生故障时 物业部门有维修人员可以派遣 则应该聘用多少名维修 人员 若以表示发生故障的电梯台数 表示聘用的维修人 即要找到适当的使上式成立 若用公式 进行计算 员数 则问题为 则问题是比较复杂的 在下一章中 我们寻找更好的方 法来解决该问题 例33甲 乙两名选手进行比赛 已知甲的实力较强 每盘棋获胜的概率为 假定每盘棋的胜负是相互独立 的 在下列种情况下 试求甲最终获胜的概率 采用三盘比赛制 采用五盘比赛制 采用九盘比赛制 解每盘比赛只有 甲胜 记作 与甲负 记作 两种结果 此为一个贝努利概型 1 完备事件组 六 全概率公式和贝叶斯公式 设为随机试验 为相应的样本空间 则称该事件组为完备事件组 为事件组 若满足 是一个完备事件组 例34设而 注完备事件组实质上是样本空间的一个划分 2 全概率公式与逆概率公式 贝叶斯公式 全概率公式 定理设个事件构成样本空间的一个划 分 是一个事件 当时 当时 公式 称为贝叶斯公式或逆概率公式 不合格率分别为 机地取了一台 求该产品为不合格品的概率 顾客开箱测试后发现冰箱不合格 但这台冰箱的厂标 例35某商店有台相同型号的冰箱待售 其中台 是甲厂生产的 台是乙厂生产的 台是丙厂生产的 一位顾客从这批冰箱中随 已经脱落 试问这台冰箱是甲厂 乙厂 丙厂生产的概 率各为多少 解以分别表示 顾客买到的冰箱是甲厂 乙 厂 丙厂生产的 由全概率公式 得 则 是样本空间的一个划分 且 再设表示 买到的是不合格品 则 由贝叶斯公式 注意对一个较为复杂的由多种 原因 形成的概率问 题 使用全概率公式是一个很好的选择 例36甲袋中有红球6个 白球3个 乙袋中有红球5个 白 解以分别表示从甲袋及乙袋中取到的是红球 则 由全概率公式 得 球4个 今随机地从甲袋中取一球放入乙袋 再从乙袋中 取一球 求从乙袋中取红球的概率 注意该概率的具体意义 例37设有三箱产品 其中甲箱有产品120件 次品率 随机取一箱 再取一件 取到的是次品 开箱后混放 从中取一件 取到的是次品 乙箱有100件 次品率丙箱有200件 次品率求以 下概率 在第二种情况下 发现是次品 该产品是由乙厂生产 的 解设表示从甲 乙 丙三箱中取产品 表 由于是随机取箱 所以 示取到的是次品 则 由全概率公式 又 由于第二个问题是开箱后混放产品 故取到各箱产品 的概率就不同了 此时产品总数为420件 所以 再由全概率公式得 因 由贝叶斯公式 例37一批产品中 由甲 乙 丙三厂共同生产的 其中 解以分别表示从甲 乙 丙三厂取产品 则 又设表示取到的是次品 则 甲厂的产品占次品率为乙厂的产品占 次品率为丙厂的产品占次品率今随机 地抽取一产品 已知取到的是次品 则该产品是由乙厂 生产的概率是多少 及 由全概率公式 得再由公式 得 例38某架飞机有可能飞过三城市上空 飞过甲地的概 解设表示飞机飞过甲 乙 丙三城市的上空 率为0 2 飞过乙地的概率为0 5 飞过丙地的概率为0 3 当飞机飞过城市 有可能被击落 击落的概率分别为 现已知飞机被击落 问飞机在哪个城市上 空被击落的可能性最大 表示飞机被击落 则由已知条件得 及 则由全概率公式得 再由贝叶斯公式 得 所以 在乙城市上空被击落的可能性最大 例39三人独立向一飞机射击 命中率分别为 解设分别表示第一 二 三人击中飞机 则 又设表示有一人击中飞机 则 已知飞机被一人击中而被击落的概率为0 4 如果被二人 击中 被击落的概率为0 7 三人击中 则飞机一定被击 落 求飞机被击落的概率 上式中的事件是两两互不相容的 因而有 设表示飞机被击落 则由已知条件得 及和最后设表示有三人 同理 设表示有二人击中飞机 则有 击中飞机 则有及由全概率 公式得 例40 桥式系统 设一个系统由个元件组成 连接 方式如下图 每个元件的可靠度都是 每个元件是否 正常工作是相互独立的 试求这个桥式系统的可靠度 当元件正常时 系统相当于下图所示一个混联系统 解记表示元件处于正常工作 表示系统正常 因而可靠度为 若不发生时 系统如下图所示的混联系统 因而可靠度为 由全概率公式得 七 部分作业解答 1 2化简下列各式 解 1 3某建筑物倒塌 记为事件 的原因有以下三个 1 地震 记为事件 2 台风 记为事件 3 暴 雨 记为事件 已知台风时必有暴雨 试用简明的 形式表达下列事件 解 1 6已知件产品中有是不合格品 今从中随机地抽 件 试求 产品中恰有不合格品的概率 产品中至少有一件不合格的概率 解 以表示取到的件产品中恰有件是次品 则取 法总数为 而取到的产品中恰有件是次品的取法 数为 因而所求的概率为 以表示取到的产品中至少有一件是次品 则表示 取到的产品都是正品 所以所求概率为 所求概率为 中取 相应的取法数是 1 7一个口袋里装了球 编号分别是 今随机 地从袋取只球 试求 最小号码是的概率 最大号码是的概率 解 以表示取到的最小号码是此意味着另外球从 记事件表示 最大号码是 则同样地有 1 11设是两个事件 已知 试求 解因 所以 1 12设是个事件 已知 试求中至少有个发生的概率和全不发 生的概率 解 1 14一盒子中装有只晶体管 其中有只是不合格品 现在做不放回抽样