第 106 课恒成立与存在性问题 基本方法 恒成立问题 1 对于 xa b f xk 恒成立等价于 min f xk 2 对于 xa b f xk 恒成立等价于 max f xk 3 对于 12 x xa b 12 f xg x 等价于 minmax f xg x 4 对于 12 x xa b 12 f xg x 等价于 maxmin f xg x 5 对于 xa b f xg x 等价于构造函数 h xf xg x h x在区间 a b上的最小值 min 0h x 6 对于 xa b f xg x 等价于构造函数 h xf xg x h x在区间 a b上的最大值 max 0h x 7 f x在区间 a b上单调递增 等价于 min 0 fxxa b 8 f x在区间 a b上单调递减 等价于 max 0 fxxa b 存在性问题 1 0 xa b 使得 f xk 成立 等价于 max f xk 2 0 xa b 使得 f xk 成立 等价于 min f xk 3 12 x xa b 使得 12 f xg x 成立 等价于 maxmin f xg x 4 12 x xa b 使得 12 f xg x 等价于 minmax f xg x 5 xa b 使得 f xg x 等价于构造函数 h xf xg x h x在区间 a b上的最大值 max 0h x 6 xa b 使得 f xg x 等价于构造函数 h xf xg x h x在区间 a b上的最小值 min 0h x 参变分离 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法 就是在不等式中含有两个字母时 一 个视为变量 另一个视为参数 可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧 即不等号的每一侧 都是只含有一个字母的表达式 然后可利用一个变量的范围求出另一个变量的范围 一般情况下 哪个字母范 围已知 就将其视为变量 多数情况下是自变量x 构造关于它的函数 另一个字母 一般为所求 视为参 数 一 典型例题 1 已知函数 2 4ln1f xxmxm R 若对任意 1 ex 都有 0f x 恒成立 求实数m的取值范围 答案 2 e e m 解析 法一 由题知 2 4ln10 xmx 在 1 ex 上恒成立 即 2 4ln1x m x 在 1 ex 上恒成立 11 令 2 4ln1 1 e x g xx x 所以 3 2 14lnx gx x 令 0gx 得 1 4 1ex 令 0gx 得 1 4 eex g x在 1 4 1 e 上单调递增 在 1 4 e e 上单调递减 1 1 4 4 2max 1 4 4lne12 e e e e g xg 2 e e m 法二 要使 0f x 恒成立 只需 max0f x 2 42 2 2 mx fxmx xx 当0m 时 f x在 1 e上单调递增 2 max e4e10f xfm 即 2 5 e m 这与0m 矛盾 此时不成立 当0m 时 i 若 2 e m 即 2 2 0 e m 时 f x在 1 e上单调递增 2 max e4e10f xfm 即 2 5 e m 这与 2 2 0 e m 矛盾 此时不成立 ii 若 2 1e m 即 2 2 2 e m 时 f x在 2 1 m 上单调递增 在 2 e m 上单调递减 max 22 4ln10f xf mm 即 1 4 2 e m 解得 2 e e m 又 2 2 2 e m 2 e 2 e m iii 2 1 m 即2m 时 f x在 1 e递减 则 max 110f xfm 1m 又 2m 2m 综上所述可得 2 e e m 2 设函数 e lnf xax x e 为自然对数的底数 若不等式 0f x 在区间 2 0 e 内有解 求实数 a 的取值 范围 答案 2 1 e 2e 解析 问题可化为函数 f x在区间 2 0 e 的最小值小于 0 i 当0a 时 2 e 0 ax fx x 则函数 f x在区间 2 0 e 内为减函数 故 f x的最小值是 2 1 e 20 e fa 即 1 2e a ii 当0a 时 函数 f x在区间 e 0 a 内为减函数 在区间 e a 内为增函数 若 2 e e a 即 1 0 e a 函数 f x在区间 2 0 e 内为减函数 由 1 知 f x的最小值为 2 e 0f 时 1 2e a 与 1 0 e a 矛盾 若 2 e e a 即 1 e a 则函数 f x的最小值是 ee lnfaa aa 令 ee ln0faa aa 得 2 ea 综上 实数 a 的取值范围是 2 1 e 2e 22 二 课堂练习 1 已知 fx 为函数 f x的导函数 2 e20 e0 xx f xffx 当0 x 时 exaf xx 恒成立 求a 的取值范围 答案 1 0 解析 由 0120ff 得 01f 因为 2 2e2e0 xx fxf 所以 0220ff 解得 00 f 所以 2 e2e xx fx 令 2 ee21 e xxx g xaf xxaax 根据题意 当 0 x 时 0g x 恒成立 2 2 e21 e12 e1 e1 xxxx gxaaa 当 1 0 2 a ln2 xa 时 0gx 恒成立 所以 g x在 ln2 a 上是增函数 且 ln2 g xga 所以不符合题意 当 1 2 a 0 x 时 0gx 恒成立 所以 g x在 0 上是增函数 且 0 g xg 所以不符合题意 当0a 时 因为 0 x 所有恒有 0gx 故 g x在 0 上是减函数 于是 0g x 对任意 0 x 都成立 的充要条件是 00g 即 210aa 解得1a 故10a 综上 a的取值范围是 1 0 2 已知函数 lnf xxa x a R 1 讨论 f x的单调性 2 设 2 22g xxxa 若对任意 1 0 x 均存在 2 0 1x 使得 12 f xg x 求a的取值范围 答案 1 见解析 2 3 0 e 解析 1 10 xaa fxx xx 当0a 时 由0 x 得0 xa 则 0fx 所以函数 f x的单调递减区间是 0 当0a 时 由 0fx 得xa 当 0 xa 时 0fx 当 xa 时 0fx 所以函数 f x的单调递增区间是 0 a 单调递减区间是 a 综上所述 当0a 时 函数 f x的单调递减区间是 0 当0a 时 函数 f x的单调递增区间是 0 a 单调递减区间是 a 33 2 依题意 要满足对任意 1 0 x 均存在 2 0 1x 使得 12 f xg x 只需满足 maxmax f xg x 因为 2 22g xxxa 0 1x 所以 max2g xa 由 1 知 当0a 时 函数 f x在区间 0 上单调递减 值域为R 不符合题意 当0a 时 max0f xxg x 符合题意 当0a 时 函数 f x在区间 0 a上单调递增 在区间 a 上单调递减 所以 max lnf xf aaa a 2lnaaaa 解得 3 0ea 综上 a的取值范围是 3 0 e 三 课后作业 1 已知函数 2 1 ln2 2 f xxxmx 在区间 1 2单调递减 求实数 m 的取值范围 答案 1 2 m 解析 1 2fxxm x 由已知得 0fx 在区间 1 2上恒成立 即 1 2mx x 在 1 2上恒成立 又 在区间 1 2上 max 15 2 x x 5 2 2 m 即 1 2 m 2 已知函数 1 ln 1 f xxxa x 若当 1 x时 0 f x 求a的取值范围 答案 2 解析 当 1 x时 0 f x等价于 1 ln0 1 a x x x 令 1 ln 1 a x g xx x 则 2 22 122 1 1 1 0 1 1 axa x g xg xxx x i 当2 a 1 x时 22 2 1 1210 xa xxx 故 0 g xg x 在 1 x上单调 递增 此时 0 g x 满足条件 ii 当2 a时 令 0 g x得 22 12 1 1 1 1 1 1 xaaxaa 由 2 1 x和 12 1 x x得 1 1 x 故当 2 1 xx时 0 g x g x在 2 1 xx单调递减 因此 0 g x 不满足条件 综上 a的取值范围是 2 3 已知函数 11 ln f xxa axa R且0 a 1 若函数 f x在区间 1 上单调递增 求实数a的取值范围 2 若函数 exg xxp 若存在 0 1 ex 使不等式 0 00 e ln x g xx 成立 求实数p的取值范围 答案 1 01 2 1 e 44 解析 1 当0a 时 函数 f x是 0 上的单调递增函数 符合题意 当0a 时 2 1ax fx ax 令 0fx 则 1 x a 易知 f x在 1 0 a 上单调递减 在 1 a 上单调递增 又 函数 f x在区间 1 上单调递增 1 01 a 即1a 综上 实数a的取值范围是 01 2 存在 0 1 ex 使不等式 0 00 e ln x g xx 成立 存在 0 1 ex 使 0 00 ln1 expxx 成立 令 ln1 e1 e x h xxx x 则 minph x 1 ln1 e1 x hxx x 由 1 知当1a 时 1 ln1f xx x 在 1 e上单调递增 当 1 ex 时 min 1 ln10 x x 1 ln1 e10 x x x 即 0h x ln1 exh xxx 在 1 e上单调递增 min 11eh xh 1ep 即实数p的取值范围为 1 e 55