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2020年中考数学冲刺专题卷08 规律探索型问题一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1(2019湖南中考真题)观察下列等式: 根据其中的规律可得的结果的个位数字是( )A0B1C7D8【答案】A【解析】个位数4个数一循环, ,的结果的个位数字是:0故选A2(2019河南中考模拟)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10)和“正方形数”(如1,4,9,16),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为()A33B301C386D571【答案】C【解析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+n=,第n个正方形数为n2,当n=19时,=190200,当n=20时,=210200,所以最大的三角形数m=190;当n=14时,n2=196200,当n=15时,n2=225200,所以最大的正方形数n=196,则m+n=386,故选C3(2019山东中考真题)已知有理数,我们把称为a的差倒数,如:2的差倒数是,-1的差倒数是如果,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数依此类推,那么的值是()A-7.5B7.5C5.5D-5.5【答案】A【解析】,这个数列以-2,依次循环,且,故选:A4(2019山东中考真题)如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是()ABCD【答案】C【解析】由题意知,原图形中各行、各列中点数之和为10,符合此要求的只有:故选C5(2019河北中考模拟)将正整数1至2018按一定规律排列如下表:平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是()A2019B2018C2016D2013【答案】D【解析】设中间数为x,则另外两个数分别为x1、x+1,三个数之和为(x1)+x+(x+1)=3x,根据题意得:3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013,解得:x=673或x=672(舍去)或x=672或x=671,673=848+1,2019不合题意,舍去;672=848,2016不合题意,舍去;671=837+7,三个数之和为2013,故选D6(2019贵州中考真题)下面摆放的图案,从第二个起,每个都是前一个按顺时针方向旋转90得到,第2019个图案中箭头的指向是( )A上方B右方C下方D左方【答案】C【解析】如图所示:每旋转4次一周,201945043,则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致,箭头的指向是下方,故选C.7(2019湖北中考真题)观察等式:;已知按一定规律排列的一组数:、若,用含的式子表示这组数的和是( )ABCD【答案】C【解析】2502512522992100a2a22a250aa(222250)a,2222502512,2502512522992100a(222250)aa(2512)aa(2 a2)a2a2a ,故选C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题6分,共24分)9(2019甘肃中考真题)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有_个【答案】6058【解析】由图可得,第1个图象中的个数为:,第2个图象中的个数为:,第3个图象中的个数为:,第4个图象中的个数为:,第2019个图形中共有:个,故答案为:605810(2019湖北中考真题)将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵则第20行第19个数是_【答案】625【解析】由图可得,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,则前20行的数字有:1+2+3+19+20=210个数,第20行第20个数是:1+3(210-1)=628,第20行第19个数是:628-3=625,故答案为:62511(2019山东中考真题)数轴上两点的距离为4,一动点从点出发,按以下规律跳动:第1次跳动到的中点处,第2次从点跳动到的中点处,第3次从点跳动到的中点处按照这样的规律继续跳动到点(,是整数)处,那么线段的长度为_(,是整数)【答案】【解析】由于OA=4,所有第一次跳动到OA的中点A1处时,OA1=OA=4=2,同理第二次从A1点跳动到A2处,离原点的()24处,同理跳动n次后,离原点的长度为()n4=,故线段AnA的长度为4-(n3,n是整数)故答案为4-12(2019辽宁中考真题)如图,在中,过点作,垂足为点,过点作交于点,得到;过点作,垂足为点,过点作交于点,得到;过点作,垂足为点,过点作交于点,得到;按照上面的作法进行下去,则的面积为_(用含正整数n的代数式表示)【答案】【解析】由等腰三角形的性质得出,由含30角直角三角形的性质得出,解:,同理,同理,同理,故答案为:三、解答题(本大题共3个小题,每小题12分,共36分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13(2019安徽中考真题)观察以下等式:第1个等式:,第2个等式:,第3个等式:,第4个等式:,第5个等式:,按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式: ;(2)写出你猜想的第n个等式: (用含n的等式表示),并证明.【答案】(1);(2),见解析.【解析】解:(1)第6个等式:(2)证明:右边左边.等式成立14(2019江苏中考真题)(阅读理解)用的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为的图案已知长度为、的所有图案如下:(尝试操作)(1)如图,将小方格的边长看作,请在方格纸中画出长度为的所有图案(归纳发现)(2)观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整图案的长度所有不同图案的个数 【答案】(1)见解析;(2),.【解析】 (1)如图:根据作图可知时,所有图案个数个;(2)时,如图所示,所有图案个数个;同理,时,所有图案个数个,故答案为,.15(2019山东中考真题)问题提出:如图,图是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片,图是一张 a b 的方格纸(a b的方格纸指边长分别为 a,b 的矩形,被分成 a b个边长为 1 的小正方形,其中 a2 , b2,且 a,b 为正整数) 把图放置在图中,使它恰好盖住图中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法? 问题探究:为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论探究一:把图放置在 2 2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图,对于 22的方格纸,要用图盖住其中的三个小正方形,显然有 4 种不同的放置方法探究二:把图放置在 32的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图,在 32的方格纸中,共可以找到 2 个位置不同的 2 2方格,依据探究一的结论可知,把图放置在 32 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 2 48种不同的放置方法探究三:把图放置在 a 2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图, 在 a 2 的方格纸中,共可以找到_个位置不同的 22方格,依据探究一的结论可知,把图放置在 a 2 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有_种不同的放置方法 探究四:把图放置在 a 3 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?如图,在 a 3 的方格纸中,共可以找到_个位置不同的 22方格,依据探究一的结论可知,把图放置在 a 3 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有_种不同的放置方法问题解决:把图放置在 a b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?(仿照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图)问题拓展:如图,图是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体,图是一个长、宽、高分别为 a,b ,c (a2 , b2 , c2 ,且 a,b,c 是正整数)的长方体,被分成了abc个棱长为 1 的小立方体在图的不同位置共可以找到_个图这样的几何体【答案】探究三:, ;探究四:, ;问题解决:共有种不同的放置方法;问题拓展:8(a-1)(b-1)(c-1).【解析】探究三:根据探究二,a2的方格纸中,共可以找到(a-1)个位置不同的22方格,根据探究一结论可知,每个22方格中有4种放置方法,所以在a2的方格纸中,共可以找到(a-1)4=(4a-4)种不同的放置方法;故答案为a-1,4a-4;探究四:与探究三相比,本题矩形的宽改变了,可以沿用上一问的思路:边长为a,有(a-1)条边长为2的线段,同理,边长为3,则有3-1=2条边长为2的线段,所以在a3的方格中,可以找到2(a-1)=(2a-2)个位置不同的22方格,根据探究一,在在a3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有(2a-2)4=(8a-8)种不同的放置方法故答案为2a-2,8a-8;问题解决:在ab的方格纸中,共可以找到(a-1)(b-1)个位置不同的22方格,依照探究一的结论可知,把图放置在ab的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a-1)(b-1)种不同的放置方法;问题拓展:发现图示是棱长为2的正方体中的一部分,利用前面的思路,这个长方体的长宽高分别为a、b、c,则分别可以找到(a-1)、(b-1)、(c-1)条边长为2的线段,所以在abc的长方体共可以找到(a-1)(b-1)(c-1)位置不同的222的正方体,再根据探究一类比发现,每个222的正方体有8种放置方法,所以在abc的长方体中共可以找到8(a-1)(b-1)(c-1)个图这样的几何体;故答案为8(a-1)(b-1)(c-1)
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