2020 5 23 1 渐近法 第十二章 2020 5 23 2 1 线性代数方程组的解法 直接法 渐近法 2 结构力学的渐近法 力学建立方程 数学渐近解 不建立方程式 直接逼近真实受力状态 其突出的优点是每一步都有明确的物理意义 3 位移法方程的两个特点 1 每个方程最多是五项式 2 主系数大于副系数的总和 即kii kij 适于渐近解法 4 不建立方程组的渐近解法有 1 力矩分配法 适于连续梁与无侧移刚架 2 无剪力分配法 适于规则的有侧移刚架 3 迭代法 适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架 它们都属于位移法的渐近解法 12 1渐近法概述 2020 5 23 3 12 2力矩分配法的基本概念 力矩分配法 理论基础 位移法 计算对象 杆端弯矩 计算方法 逐渐逼近的方法 适用范围 连续梁和无侧移刚架 表示杆端对转动的抵抗能力 在数值上 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩 SAB 4i SAB 3i SAB i SAB 0 SAB与杆的i 材料的性质 横截面的形状和尺寸 杆长 及远端支承有关 而与近端支承无关 一 转动刚度S 2020 5 23 4 二 分配系数设A点有力矩M 求MAB MAC和MAD 如用位移法求解 于是可得 2020 5 23 5 三 传递系数 MAB 4iAB A MBA 2iAB A MAB 3iAB A MAB iAB A MBA iAB A 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面 各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数 2020 5 23 6 基本运算 MAB MBA MBC MABP MBAP MBCP MB 0 最后杆端弯矩 MBA MBAP MBC MBCP MAB MABP 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图 即得最后弯矩图 12 3单结点的力矩分配 2020 5 23 7 例1 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图 1 B点加约束 MAB MBA MBC MB MBA MBC 150 150 90 2 放松结点B 即加 60进行分配 60 设i EI l 计算转动刚度 SBA 4i SBC 3i 分配系数 0 571 0 429 分配力矩 34 3 25 7 17 2 0 3 最后结果 合并前面两个过程 0 571 0 429 150 150 90 34 3 25 7 17 2 0 167 2 115 7 115 7 0 167 2 115 7 300 90 M图 kN m 2020 5 23 8 12 4多结点的力矩分配 MBA MBC MCB MCD MAB mBA mBC mCB 放松 平衡了 固定 放松 平衡了 固定 固定 放松 平衡了 渐近运算 2020 5 23 9 C B 例1 用力矩分配法列表计算图示连续梁 0 4 0 6 0 667 0 333 m 60 60 100 100 分配与传递 33 3 66 7 33 4 29 4 44 22 14 7 14 7 7 3 7 3 4 4 2 9 2 2 1 5 0 7 0 7 0 3 0 4 1 5 0 2 43 6 92 6 92 6 41 3 41 3 Mij 0 43 6 92 6 133 1 41 3 21 9 M图 kN m 2020 5 23 10 51 8 68 2 56 4 43 6 6 9 Q图 kN 求支座反力 2020 5 23 11 上题若列位移法方程式 用逐次渐近解法 1 将上式改写成 2 余数 3 B C 第一次近似值 24 66 67 8 20 2 4 6 67 2 0 8 0 24 0 67 0 2 0 08 结果 B 48 84 C 82 89 精确值 48 88 82 06 MBC 4iBC B 2iBC C 100 2020 5 23 12 1 单结点力矩分配法得到精确解 多结点力矩分配法得到渐近解 2 首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始 3 结点不平衡力矩要变号分配 4 结点不平衡力矩的计算 结点不平衡力矩 第一轮第一结点 固端弯矩之和 第一轮第二 三 结点 固端弯矩之和加传递弯矩 传递弯矩 其它轮次各结点 总等于附加刚臂上的约束力矩 5 不能同时放松相邻结点 因定不出其转动刚度和传递系数 但可以同时放松所有不相邻的结点 以加快收敛速度 力矩分配法小结 2020 5 23 13 0 222 1 1 1 B C mBA 40kN m mBC 41 7kN m mCB 41 7kN m 0 3 0 4 0 3 0 445 0 333 40 41 7 41 7 18 5 9 3 13 9 9 3 3 3 3 3 4 4 2 2 1 0 0 5 0 7 0 5 0 15 0 15 0 2 4 65 1 65 0 25 0 07 43 45 3 45 46 9 24 4 9 8 14 6 1 72 4 90 M图 例2 2020 5 23 14 5 6 1 6 50 25 20 8 4 2 20 8 20 8 50 例3 带悬臂杆件的结构的力矩分配法 M 2 2020 5 23 15 用力矩分配法计算 作M图 取EI 5 20 0 263 0 316 0 421 0 615 0 385 0 0 0 31 25 20 83 20 83 0 0 20 2 74 3 29 4 39 1 37 2 20 MB 31 25 20 83 10 42 MC 20 83 20 2 2 1 37 0 840 53 0 27 0 42 0 10 0 14 0 18 0 05 0 09 A B C E F 2020 5 23 16 2 85 0 060 03 0 02 0 03 0 01 0 01 0 01 M 0 1 42 27 80 24 96 19 94 0 56 0 29 计算之前 去掉静定伸臂 将其上荷载向结点作等效平移 有结点集中力偶时 结点不平衡力矩 固端弯矩之和 结点集中力偶 顺时针为正 2020 5 23 17 4i 2i SAG 4i SAC 4i SCA 4i SCH 2i SCE 4i AG 0 5 AC 0 5 CA 0 4 CH 0 2 CE 0 4 0 5 0 5 0 4 0 2 0 4 15 2020 5 23 18 7 57 5 3 75 1 50 0 75 1 50 0 75 0 75 0 370 38 0 19 0 08 0 03 0 08 0 04 0 04 0 020 02 M 7 11 7 11 2 36 0 78 1 58 0 79 0 79 M图 kN m 2020 5 23 19 例 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图 E I1 I2 解 取等代结构如图 设梁柱的线刚度为i1 i2 2i1 2i2 2020 5 23 20 M M图 当竖柱比横梁的刚度大很多时 如i2 20i1 梁端弯矩接近于固端弯矩ql2 12 此时竖柱对横梁起固定支座的作用 当横梁比竖柱的刚度大很多时 如i1 20i2 梁端弯矩接近于零 此时竖柱对横梁起铰支座的作用 由此可见 结构中相邻部分互为弹性支承 支承的作用不仅决定于构造作法 也与相对刚度有关 如本例中只要横梁线刚度i1超过竖柱线刚度i2的20倍时 横梁即可按简支梁计算 反之只要竖柱i2超过横梁线刚度i1的20倍时 横梁即可按两端固定梁计算