6 2定义与命题 八年级数学 下 第六章 小华与小刚正在津津有味地阅读 我们爱科学 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话 一边也在悄悄地议论着 哈 这个黑客终于被逮住了 是的 现在的因特网广泛运用于我们的生活中 给我们带来了方便 但 这个黑客是个小偷吧 可能是个喜欢穿黑衣服的贼 日常生活 有一位田径教练向领导汇报训练成绩 相传 阎锡山在观看士兵篮球赛 双方争抢非常激烈 于是命令 小明的百米成绩是9秒9 继续努力 争取达到10秒 发给每个人一个球 不要再抢啦 日常生活 真正的含义 可见 交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行 例如 具有中华人民共和国国籍的人 叫做中华人民共和国公民 是 中华人民共和国公民 的定义 为此 就要对名称和术语的含义加以描述 作出明确的规定 也就是给出它们的定义 两点之间线段的长度 叫做这两点之间的距离 是 两点之间的距离 的定义 在一个方程中 只含有一个未知数 并且未知数的指数是1 这样的方程叫做一元一次方程 是 一元一次方程 的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 是 平行四边形 的定义 你还能举出曾学过的 定义 吗 下图表示某地的一个灌溉系统 上面 如果 那么 都是对事情进行判断的语句 判断一件事情的句子 叫做命题 如果B处水流受到污染 那么处水流便受到污染 如果C处水流受到污染 那么处水流便受到污染 如果D处水流受到污染 那么处水流便受到污染 A B C E F H G D K J I C E F G E K 做一做 例如 下列句子都是命题 4 无论n为怎样的自然数 式子n2 n 11的值都是质数 2 任何一个三角形一定有直角 1 熊猫没有翅膀 3 对顶角相等 反之 如果一个句子没有对某一事情作出任何判断 那么它就不是命题 例如 下列句子都不是命题 1 你喜欢数学吗 2 作线段AB CD 5 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 命题一般都写成 如果 那么 的形式 你能把上面的命题都写成 如果 那么 的形式吗 练一练 你能举出一些命题吗 举出一些不是命题的语句 判断就是命题 1 下列句子中哪些是命题 1 动物都需要水 2 猴子是动物的一种 3 玫瑰花是动物 4 美丽的天空 5 三个角对应相等的两个三角形一定全等 6 负数都小于零 7 你的作业做完了吗 8 所有的质数都是奇数 9 过直线外l一点作直线l的平行线 10 如果a b a c 那么b c 2 在解决 何处水流受到污染 的问题中 找出几个命题 是 是 是 不是 是 是 不是 是 不是 是 补充 判断下列语句哪些是命题 哪些不是命题 1 平角都相等 2 等于同一个角的两个角相等 3 画两条相等的线段 4 在射线OA上 任取两点B C 5 在空间里 不平行的两条直线一定相交 6 一对邻补角的平分线互相垂直 7 延长线段AB到C 使AC 2AB 8 两条直线平行 内错角相等 1 如果两个三角形的三条边对应相等 那么这两个三角形全等 2 如果一个四边形的一组对边平行且相等 那么这个四边形是平行四边形 3 如果一个三角形是等腰三角形 那么这个三角形的两个底角相等 4 如果一个四边形的对角线相等 那么这个四边形是矩形 5 如果一个四边形的两条对角线互相垂直 那么这个四边形是菱形 每个命题都由条件和结论两部分组成 条件是已知事项 结论是由已事项推断出的事项 观察下列命题 猜测这些命题的共同的结构特征 与你的同伴交流 1 如果两个三角形的三条边对应相等 那么这两个三角形全等 2 如果一个四边形的一组对边平行且相等 那么这个四边形是平行四边形 3 如果一个三角形是等腰三角形 那么这个三角形的两个底角相等 4 如果一个四边形的对角线相等 那么这个四边形是矩形 5 如果一个四边形的两条对角线互相垂直 那么这个四边形是菱形 情景引入 探索新知 1 如果两个三角形的三条边对应相等 那么这三角形全等 条件 结论 已知事项 由已知事项推断出来的事项 命题都可以写成 如果 那么 的形式 其中 如果 引出的部分是条件 那么 引出的部分是结论 有些命题没有写成 如果 那么 的形式 题设和结论不明显 要经过分析才能找出题设和结论 也可以将它们改写成 如果 那么 的形式 如 同角的余角相等 可以写成 如果两个角是同一个角的余角 那么这两个角相等 注意 命题的条件 题设 部分有时可用 已知 或者 若 等形式表述 命题的结论部分有时可用 求证 或 则 等形式表述 知识应用 1 下列命题的条件是什么 结论是什么 1 如果两个角相等 那么它们是对顶角 2 如果a b b c 那么a c 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4 菱形的四条边都相等 5 全等三角形的面积相等 解 1 条件 两个角相等 结论 它们是对顶角 解 2 条件 a b b c 结论 a c 解 3 改写 如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等 那么这两个三角形全等 条件 两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等结论 这两个三角形全等 解 4 改写 如果一个四边形是菱形 那么这个四边形的四条边相等条件 一个四边形是菱形 结论 这个四边形的四条边相等 解 5 改写 如果两个三角形全等 那么这两个三角形的面积相等 条件 两个三角形全等结论 这两个三角形的面积相等 2 这几个命题哪些是正确的 哪些不正确 你是怎么知道它们是不正确的 1 如果两个角相等 那么它们是对顶角 2 如果a b b c 那么a c 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4 菱形的四条边都相等 5 全等三角形的面积相等 不正确 不正确 正确 正确 正确 正确的命题称为真命题 不正确的命题称为假命题 3 这几个命题哪些是真命题 哪些是假命题 1 如果两个角相等 那么它们是对顶角 2 如果a b b c 那么a c 3 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4 菱形的四条边都相等 5 全等三角形的面积相等 假命题 假命题 真命题 真命题 真命题 说明假命题的方法 举反例 使之具有命题的条件 而不具有命题的结论 如何证实一个命题是真命题呢 用我们以前学过的观察 实验 验证特例等方法 这些方法往往并不可靠 能不能根据已经知道的真命题证实呢 那已经知道的真命题又是如何证实的 哦 那可怎么办 想一想 如何证实一个命题是真命题呢 其实 在数学发展史上 数学家们也遇到类似的问题 公元前3世纪 人们已经积累了大量的数学知识 在此基础上 古希腊数学家欧几里得 公元前300前后 编写一本书 书名叫 原本 为了说明每一个结论的正确性 他在编写这本书时进行了大胆创造 挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据 公认的真命题称为公理 某些数学名词称为原名 除了公理外 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 推理的过程称为证明 经过证明的真命题称为定理 其中 他的方法是 确定一些公认的命题作为公理 用推理的方法证实其它命题的正确性 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 原名 公理 证明 定理 定义及它们的关系 推理 推理的过程叫证明 证实其它命题的正确性 原名公理 一些条件 经过证明的真命题叫定理 原本 问世之前 世界上还没有一本数学书籍像 原本 这样编排 因此 原本 是一部具有划时代意义的著作 1 两直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 2 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 3 两边夹角对应相等的两个三角形全等 4 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 5 三边对应相等的两个三角形全等 6 全等三角形的对应边相等 对应角相等 本套教材选用如下命题作为公理 等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理 在等式或不等式中 一个量可以用它的等量来代替 例如 如果a b b c 那么a c 这一性质也看作公理 称为 等量代换 其它公理 习题6 3 1 下列命题的条件是什么 结论是什么 1 如果两个三角形的两边及其夹角对应相等 那么这两个三角形全等 条件 两个三角形的两边及其夹角对应相等 结论 这两个三角形全等 2 如果一个三角形中有两个角相等 那么这个三角形是等腰三角形 条件 一个三角形中有两个角相等 结论 这个三角形是等腰三角形 3 直角三角形的两个锐角互余 条件 两个角是一个直角三角形的锐角 结论 这两个角互余 4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 条件 一个四边形的两条对角线互相平分 结论 这个四边形是平行四边形 2 下列命题中哪些是假命题 为什么 1 如果那么x 4 2 各边对应成比例的两个多边形一定相似 是假命题 如 两个菱形的各边对应成比例 但它们不一定相似 所以这个命题是假命题 3 如果a 0 b 0 那么a ab b a b 是假命题 如 a 1 b 1时a ab b 3 a b 4 这时a ab b a b 所以这个命题是假命题 4 两个锐之和一定是钝角 是假命题 如一个锐角为30 另一个锐角为40 则两角之和等于70 为锐角 所以这个命题是假命题 是假命题 因为当时x 4 25所以这个命题是假命题 谁得优 3 A B C D E五名学生猜自己的数学成绩 A说 如果我得优 那么B也得优 B说 如果我得优 那么C也得优 C说 如果我得优 那么D也得优 D说 如果我得优 那么E也得优 大家都没有说错 但只有三个人得优 请问 得优的是哪三个人 C D E三个人得优 考考你 1 两点之间 线段最短 这个语句是 A 定理B 公理C 定义D 只是命题 2 同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 这个语句是 A 定理B 公理C 定义D 只是命题 3 下列命题中 属于定义的是 A 两点确定一条直线B 同角的余角相等C 两直线平行 内错角相等D 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 4 下列句子中 是定理的是 是公理的是 是定义的是 A 若a b b c 则a c B 对顶角相等C 全等三角形的对应边相等 对应角相等D 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形E 两条平行直线被第三条直线所截 同位角相等 B D C B D A C E 小结与反思 通过本节课的学习 你有哪些收获 还有什么疑问 课堂小结 1 命题都是由条件和结论两部分组成 2 说明一个命题是假命题的方法 举反例 3 说明一个命题是真命题的方法 证明 证明的依据 公理 等式的性质 定义 已证明的定理 如果 那么 条件 结论 结束寄语 在几何学习中最能发挥你的聪明才智 数学使人聪明 只要你敢想敢做 未来的数学 大家 将是你