书 山 有 路1、如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），PBQ的面积为y（cm2），当PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由解：（1）设AC=4x，BC=3x，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，AC=8cm，BC=6cm；（2）当点Q在边BC上运动时，过点Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，BQ=2x，QHBACB，QH=错误!未找到引用源。x，y=错误!未找到引用源。BPQH=（10x）错误!未找到引用源。x=x2+8x（0x3），当点Q在边CA上运动时，过点Q作QHAB于H，AP=x，BP=10x，AQ=142x，AQHABC，即：错误!未找到引用源。，解得：QH=错误!未找到引用源。（14x），y=PBQH=（10x）（14x）=x2x+42（3x7）；y与x的函数关系式为：y=错误!未找到引用源。；（3）AP=x，AQ=14x，PQAB，APQACB，即：错误!未找到引用源。，解得：x=，PQ=，PB=10x=，错误!未找到引用源。，当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC不相似；（4）存在理由：AQ=142x=1410=4，AP=x=5，AC=8，AB=10，PQ是ABC的中位线，PQAB，PQAC，PQ是AC的垂直平分线，PC=AP=5，当点M与P重合时，BCM的周长最小，BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM的周长最小值为162、（12分） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M.(1)求证：ADPABQ；(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值；(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。解：(1)证明： 四边形ABCD是矩形 ADP=ABC=BAD=90ABC+ABQ=18010x20-xNABQ=ADP =90AQAP PAQ=90QAB+ BAP=90又PAD+BAP=90PAD=QAB在ADP与ABQ中ADPABQ（2）如图，作MNQC，则QNM=QCD=90又MQN=PQCMQNPQC 点M是PQ的中点 又 ADPABQ 在RtMBN中，由勾股定理得：即： 108ABCPDQM10a10当即时，线段BM长的最小值. (3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10由ADPABQ得解得：随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：3、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形的面积，求的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.24（14分）（2013温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CEAB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作CDEF（1）当0m8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值解答：解：（1）A（6，0），B（0，8）OA=6，OB=8AB=10，CEB=AOB=90，又OBA=EBC，BCEBAO，=，即=，CE=m；（2）m=3，BC=8m=5，CE=m=3BE=4，AE=ABBE=6点F落在y轴上（如图2）DEBO，EDABOA，=即=OD=，点D的坐标为（，0）（3）取CE的中点P，过P作PGy轴于点G则CP=CE=m（）当m0时，当0m8时，如图3易证GCP=BAO，cosGCP=cosBAO=，CG=CPcosGCP=（m）=mOG=OC+OG=m+m=m+根据题意得，得：OG=CP，m+=m，解得：m=；当m8时，OGCP，显然不存在满足条件的m的值（）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）（）当m0时，当点E与点A重合时，（如图5），易证COAAOB，=，即=，解得：m=当点E与点A不重合时，（如图6）OG=OCOG=m（m）=m由题意得：OG=CP，m=m解得m=综上所述，m的值是或0或或28、如图，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=错误!未找到引用源。x点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=x+tAOB的面积为Sl（如图）以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2（如图）连接PD并延长，交l1于点E，交l2于点F设PEA的面积为S3；（如图）（1）Sl关于t的函数解析式为_；（2）直线OC的函数解析式为_；（3）S2关于t的函数解析式为_；（4）S3关于t的函数解析式为_解：（1）由错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。，A点坐标为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。B点坐标为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）S1=SAOPSBOP=错误!未找到引用源。t2（2）由（1）得，点C的坐标为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，k=错误!未找到引用源。，直线OC的解析式为y=错误!未找到引用源。x（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的边长CB=错误!未找到引用源。t错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，S2=CB2=（错误!未找到引用源。）2=错误!未找到引用源。（4）设直线PD的解析式为y=k1x+b，由（1）知，点D的坐标为（错误!未找到引用源。t，错误!未找到引用源。），将P（t，0）、D（错误!未找到引用源。）代入得错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。直线PD的解析式为y=错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。E点坐标为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）S3=SEOPSAOP=错误!未找到引用源。t错误!未找到引用源。t错误!未找到引用源。t错误!未找到引用源。t=错误!未找到引用源。t225（10分）（2013天津）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAE=0BA（）如图，求点E的坐标；（）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE设AA=m，其中0m2，试用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）考点：相似形综合题3718684分析：（）根据相似三角形OAEOBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；（）如图，连接EE在RtABO中，勾股定理得到AB2=（2m）2+42=m24m+20，在RtBEE中，利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9，则AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E的坐标是（1，1）时，AB2+BE2取得最小值解答：解：（）如图，点A（2，0），点B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90，OAEOBA，=，即=，解得，OE=1，点E的坐标为（0，1）；（）如图，连接EE由题设知AA=m（0m2），则AO=2m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2m）2+42=m24m+20AEO是AEO沿x轴向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90，EE=m又BE=OBOE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27当m=1时，AB2+BE2可以取得最小值，此时，点E的坐标是（1，1）如图，过点A作ABx，并使AB=BE=3易证ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点B、A、B在同一条直线上时，AB+BA最小，即此时AB+BE取得最小值易证ABAOBA，=，AA=2=，EE=AA=