此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 （新高考）2020年高考考前45天大冲刺卷文 科 数 学（十五）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）ABCD2已知集合，则（ ）ABCD3中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位、，用纵式表示，十位、千位、十万位、，用横式表示，则可用算筹表示为（ ）ABCD4设，则（ ）ABCD5已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的充分条件是（ ）A与平面所成角相等B，C，D，6曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD7已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD8要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位9如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）A在点的运动过程中，存在B在点的运动过程中，不存在C四面体的体积为定值D四面体的体积不为定值10已知抛物线焦点为，圆的圆心为，点在上，且，则直线的斜率为（ ）ABCD11对于任意，函数满足，且当时，函数，若，则，大小关系是（ ）ABCD12已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知，若，则_14记为数列的前项和，若，则_15已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则该正三棱锥外接球的表面积是_16已知点在圆上，点在椭圆上，且的最大值等于，则当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为，则的最大值等于 三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求18（12分）由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众是地区中“满意”的观众的概率为（1）现从名观众中用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少？（2）在（1）的条件下，从抽取到“满意”的人中随机抽取人，设“抽到的观众来自不同的地区”为事件，求事件的概率；（3）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关附：参考公式：19（12分）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，底面边长为，是的中点，连接，（1）证明：平面，平面平面；（2）若，求四棱锥的体积20（12分）已知（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围21（12分）已知圆，圆（1）证明：圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；（2）过点，斜率为的直线与（1）中轨迹相交于，两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得，求实数的取值范围（新高考）2020年高考考前45天大冲刺卷文 科 数 学（十五）答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】因为，所以，所以其虚部为2【答案】C【解析】因为，所以3【答案】B【解析】根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，用算筹表示应为：纵横纵横纵，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示即可故选B4【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以选B5【答案】C【解析】对于A，若与平面所成角相等，则可能相交或异面或平行，故A错；对于B，若，则可能相交或异面或平行，故B错；对于C，若，由线面平行的性质定理可得，故C正确；对于D，若，则可能异面或平行，故D错，故选C6【答案】A【解析】，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以切线方程为7【答案】D【解析】，又，解得，即，故8【答案】D【解析】，因为，所以需要将的图象向右平移个单位9【答案】C【解析】在长方体中，平面平面，又因为点在上运动，则不存在，当时，其理由如下：设与相交于点，因为，所以，易证平面，所以，故平面，因为平面，所以为定值；因为，所以点到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值10【答案】B【解析】因为，所以，解得，所以圆心，所以直线的斜率为11【答案】C【解析】因为满足，所以的图象关于对称因为时，函数，所以在单调递增，由对称性可得在单调递减，所以离越近的点，纵坐标越小，因为，所以12【答案】B【解析】函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，而函数关于直线的对称图象为直线，的图象与的图象有且只有四个不同的交点，作函数的图象与的图象如下，易知直线恒过点，设直线与相切于点，故，解得，故，设直线与相切于点，故，解得，故，故，即，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13【答案】【解析】由，则，故答案为14【答案】【解析】当时，即；当时，-得，即，所以是公比为，首项为的等比数列，故15【答案】【解析】过点作平面于点，记球心为在三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径，在中，即，解得，外接球的表面积为16【答案】【解析】化简为，圆心，的最大值为，等价于的最大值为，设，即，又，化简得到，当时，验证等号成立，对称轴为，满足，结合，故，当时，离心率有最大值，此时椭圆方程为，设左焦点为，当，共线时取等号，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）设的公差为，成等比数列，即，整理得，又，又，联立，得，解得，（2），18【答案】（1）地2人，地3人；（2）；（3）列联表见解析，没有的把握认为【解析】（1）由题意，得，解得，地抽取人，地抽取人（2）从地区抽取到人，记为、，从地区抽取到人，记为，随机抽取人，所有的基本事件为，共有种情况，事件包含的基本事件有，共种情况，所以（3）完成表格如下：，没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关19【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，分别为，的中点，平面，平面，平面平面，在正方形中，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面（2）取的中点，连接，易得平面，分别是，的中点，即，在中，20【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），令当时，有，单调递减，时，单调递增；当时，有，单调递增，时，单调递减，时，单调递增；当时，有，单调递增；当时，有，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）对恒成立，即对恒成立令，其中，则，又，令当时，单调递增，所以当时，符合题意；当时，设的两根为，且，则，（）若，则时，单调递减；时，单调递增，舍去；（）若，则时，单调递增，符合题意，由的图像可知，若满足，则，又，即，综上，的取值范围为21【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，【解析】（1）因为，所以，因为圆的半径为，圆的半径为，又因为，所以，即，所以圆与圆有公共点，设交点为，因此，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，即轨迹的方程为（2）设过点点且斜率为的直线方程为，联立，消去，得到，则，因为，所以