高二数学理科试题及答案 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 原创 在复平面内 复数 21 iiz的共轭复数为 A i2 B i2 C i2 D i2 2 原创 若 2017 2017 2 210 2017 21 xaxaxaax 则 2017321 aaaa A 2B 1C 1D 2 3 用反证法证明命题 若0 22 ba 则ba 全为 0 Rba 假设的内容是 A ba 至少有一个不为 0 B ba 至少有一个为 0 C ba 全不为 0 D ba 中只有一个为 0 4 命题 有些有理数是无限循环小数 整数是有理数 所以整数是循环小数 是 假命题 推理错误的原因是 A 使用了归纳推理 B 使用了类比推理 C 使用了 三段论 但推理形式错误 D 使用了 三段论 但小前提错误 5 原创 已知随机变量服从正态分布 3 2 N 68 0 4 P 则 2 P A 84 0 B 68 0 C 32 0 D 16 0 6 原创 已知函数2ln xaxf 2 ef 则a的值为 A 1 B 1 C e2 D 2 e 7 观察下列各式 1ba 3 22 ba 4 33 ba 7 44 ba 11 55 ba 则 1010 ba A 28 B 76 C 123 D 199 8 从 1 2 3 4 5 中任取 2 个不同的数 事件 A为 取到的 2 个数之和为偶数 事件 B为 取到的 2 个数均为偶数 则 ABP等于 A 8 1 B 4 1 C 2 1 D 5 2 9 原创 小王有 70 元钱 现有面值分别为20 元和 30 元的两种 IC 电话卡 若 他至少购买一张卡 则不同的买法共有 A 6 种 B 7种 C 8种 D 9种 10 设甲 乙两人每次射击命中目标的概率分别为 3 4 和 4 5 且各次射击相互独立 若按甲 乙 甲 乙 的次序轮流射击 直到有一人击中目标就停止射击 则停止 射击时 甲射击了两次的概率是 A 9 20 B 9 25 C 3 80 D 19 400 11 某次联欢会要安排3 个歌舞类节目 2 个小品类节目和1 个相声类节目的演 出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 A 72 B 120 C 144 D 168 12 已知函数 xf的定义域为 5 1 部分对应值如下表 x 1 0 4 5 xf1 2 2 1 xf的导函数 xfy的图象如图所示 下列关于函数 xf的命题 函数 xfy是周期函数 函数 xf在 0 2 是减函数 如果当 1 tx时 xf的最大值是 2 那么 t 的最大值为 4 当21a时 函数axfy 有 4 个零点 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 y x 1O2 4 5 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 原创 4 2 yx展开式中二项式系数最大的项的系数为 用数 字作答 14 原创 dxxx 2 2 2 sin3 15 将甲 乙等 5 位同学分别保送到北京大学 上海交通大学 浙江大学三所大 学就读 则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为种 用数 字作答 16 给出下列命题 用反证法证明命题 设 a b c为实数 且0 0 abcabbcca则 0 0 0abc 时 要给出的假设是 a b c都不是正数 若函数 2 fxxxa在2x处取得极大值 则2a或 6 用数学归纳法证明 111 1 1 2321 n n nnN 在验证2n成立时 不等式的左边是 11 1 23 数列 n a的前n项和cS n n 3 则1c是数列 n a为等比数列的充要条件 上述命题中 所有正确命题的序号为 三 解答题 本大题共6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 原创 当m为何实数时 复数imm m mm z 82 4 6 2 2 是 实数 纯虚数 18 本小题满分 12 分 已知函数xxxf12 3 求函数 xf的单调区间 求函数1 3 xxf当时的最大值与最小值 19 本小题满分 12 分 原创 中秋节吃月饼是我国的传统习俗 设一礼盒中装有9 个月饼 其中莲 蓉月饼 2 个 伍仁月饼 3 个 豆沙月饼 4 个 这三种月饼的外观完全相同 从 中任意选取 3 个 求三种月饼各取到 1 个的概率 设 X表示取到伍仁月饼的个数 求X的分布列与数学期望 20 本小题满分 12 分 数列 n a满足 2NnanS nn 计算 4321 aaaa 并由此猜想通项公式 n a 用数学归纳法证明 中的猜想 21 本小题满分 12 分 某校为全面推进新课程改革 在高一年级开设了研究性学习课程 某班学生 在一次研究活动课程中 一个小组进行一种验证性实验 已知该种实验每次实验 成功的概率为 1 2 求该小组做了 5 次这种实验至少有2 次成功的概率 如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验 否则将继续下次实验 但 实验的总次数不超过5 次 求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望 22 本小题满分 12 分 设函数 ln 2 xxbaxxf 1 2 1 2 xbxxg已知曲线 xfy在 点 1 1 f 处的切线与直线01yx垂直 求a的值 求函数 xf的极值点 若对于任意的 1 b总存在 1 21bxx使得 mxgxgxfxf 1 2121 成立 求实数m的取值范围 参考答案 一 选择题 每题5 分 共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A C B C C B B D B A 二 填空题 每题5 分 共 20 分 13 24 14 16 15 150 16 三 解答题 17 本小题满分 10 分 解 当 082 04 2 mm m 3 分 即2m时 z是实数 5 分 当 082 0 4 6 2 2 mm m mm 7 分 42 23 mm m 且 或 9 分 3m时 z是纯虚数 10分 18 本小题满分 12 分 解 由xxxf12 3 可得123 2 xxf 2 分 令0 xf即得22x xf的单调递增区间为 2 2 4 分 令0 xf即得22xx或 xf单调递减区间为 2 2 综上所述 xf的单调递增区间为 2 2 单调递减区间为 2 2 6 分 由 可知 xf在2 3上单调递减 在1 2上单调递增 8 分 又9 3 12 3 3 3 f 9 分 16 2 12 2 2 3 f 10 分 111121 1 3 f 11 分 xf在1 3上的最大值为 11 最小值为16 12 分 19 本小题满分 12 分 解 设三种月饼各取到一个的概率为 P 则 7 2 3 9 1 4 1 3 1 2 C CCC P 5 分 由题意可得 X 可能的取值为3 2 1 0 6 分 21 5 0 3 9 3 6 C C XP 28 15 1 3 9 2 6 1 3 C CC XP 14 3 2 3 9 1 6 2 3 C CC XP 84 1 3 3 9 3 3 C C XP 则 X 的分布列为 X0 1 2 3 P21 5 28 15 14 3 84 1 10 分 X 的数学期望13 84 1 2 14 3 1 84 45 0 21 5 E 12 分 20 本小题满分 12 分 解 nn anS2 1121 111 aaSn时 当 1 分 2 3 222 222 aaSn时 当 2 分 4 7 323 333 aaSn时 当 3 分 8 15 424 444 aaSn时 当 4 分 由此猜想 2 12 1 Nna n n n 6 分 证明 当1n时 1 1 a 结论成立 7 分 假设 1 Nkkkn且时 结论成立 即 1 2 12 k k k a 8 分 那么1kn时 111122 1 2kkkkkkkaaakakSSa 10 分 kk aa22 1 k k k k k k a a 2 12 2 2 12 2 2 2 1 1 1 11 分 所以当1kn时 结论成立 综上所述 2 12 1 Nna n n n 成立 12 分 21 本小题满分 12 分 解 记 该小组做了5 次实验至少有 2 次成功 为事件 A 只成功一次 为事件 1 A 一次都不成功 为事件 2 A 则 16 13 2 1 2 1 1 1 1 50 5 51 52121 CCAPAPAAPAP 故该小组做了 5 次这种实验至少有2 次成功的概率为 13 16 6 分 的可能取值为 2 3 4 5 则 4 1 2 1 2 2 P 4 1 2 1 3 31 2 CP 16 3 2 1 4 41 3 CP 16 5 2 1 2 1 2 1 5 51 4 51 5 50 5 CCCP 10 分 的分布列为 2 3 4 5 P 1 4 1 4 3 16 5 16 11 分 的数学期望 E 113557 2345 44161616 12 分 22 本小题满分 12 分 解 由题可知 函数 xf的定义域为 0 1 分 1 1 2 x baxxf abaf2 1 1 1 2 1 3 分 因为曲线 xfy在点 1 1 f 处的切线与直线01yx垂直 故112a 2 1 a 4 分 由 I 得 x bbxx x bxxf 2 1 1 0 x 00 2 bbxxxf得令 bb4 2 时或时 即当04 04 2 bbbb 式有两个根 2 4 2 4 2 2 2 1 bbb x bbb x 当4b时 0 0 21 xx 上单调递增 上单调递减 在区间 在区间 122 0 xxxxf 上单调递减 在区间 1 x 此时为极大值点为极小值点 12 xxxx 当0b时 0 0 21 xx 上单调递减 上单调递增 在区间 在区间 11 0 xxxf 此时点为极大值点 无极小值 1xx 6 分 时时 即当04 04 2 bbb无极值点 在定义域内单调递减 xf 综上可知 当4b时 为极大值点为极小值点 12 xxxx 时 当04 b 无极值点xf 当0b时点为极大值点 无极小值 1 xx 8 分 1 bxxgxfxF令则xxbxFln 令 9 分 若总存在 1 21 bxx使得mxgxgxfxf 1 2121 成立 即总存在 1 21 bxx使得1 2121 mxgxgxfxf成立 即总存在 1 21 bxx使得1 21 mxFxF成立 即1 minmax mxFxF 10分 0 1 1 所以因为 xFbx x xb x b xF xF是单调递增函数 1ln 1 minmax bbbFbFxFxF 恒成立1m1lnbbb 恒成立故mlnbbb 11分 设 1 ln bbbbbt 0 1 ln 恒成立 btbbbt 1 1 min tbt 1m 12分